A fantástica sequência de Fibonacci

e enigmático número de Ouro

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Informações: acm@acm-itea.org

O conteúdo sobre números de Fibonacci e a razão áurea é uma oportunidade riquíssima para o professor trabalhar a conexão da Matemática com o dia-a-dia. Assim, nesta palestra falaremos sobre estes assuntos e destacaremos suas aplicações práticas. Começaremos falando um pouco do contexto histórico, destacando aspectos sobre a vida de Fibonacci e suas obras, depois abordaremos o estudo formal de sua sequência, definindo-a e destacando algumas de suas principais propriedades. Em seguida, abordaremos sobre o número de ouro com sua definição e um pouco do contexto histórico. Depois falaremos sobre o retângulo áureo e a espiral áurea. Em seguida mostraremos algumas curiosidades desse número e destacaremos a sua bela relação com a sequência de Fibonacci. Finalmente, evidenciaremos algumas aplicações de tal sequência e do número dourado.

A sequência de Fibonacci, uma série matemática notável que fascina estudiosos e entusiastas há séculos, tem raízes históricas profundas. Seu nome é uma homenagem a Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, um matemático italiano do século XIII. A sequência apareceu pela primeira vez em seu livro “Liber Abaci” (O Livro do Cálculo), publicado em 1202 (FIBONACCI, 1202). Ao introduzir o conceito na Europa, Fibonacci abriu caminho para a ampla aplicação e exploração da sequência em diversas disciplinas.

Fibonacci descobriu a sequência enquanto estudava um problema relacionado ao crescimento de uma população de coelhos. Ele observou que a sequência de números que descrevia o crescimento da população seguia um padrão específico. Este padrão, agora conhecido como a sequência de Fibonacci, é uma sequência infinita que começa com 0 e 1, e cada número subsequente é a soma dos dois números anteriores.

Embora a sequência de Fibonacci seja mais conhecida por seu papel na matemática, ela também tem uma rica história na arte e na arquitetura. Por exemplo, Leonardo da Vinci usou a sequência, que ele chamou de “Divina Proporção”, para criar desenhos perfeitos.

A importância histórica da sequência transcende seu ponto de origem. A progressão aparece em textos antigos de matemáticos indianos, como Pingala, que, em seu tratado “Chandah-shastra”, discutiu padrões rítmicos que se assemelham à sequência (PINGALA, c. III a.C.). Essa interconexão cultural destaca a universalidade e atemporalidade da sequência de Fibonacci, consolidando-a como uma descoberta matemática essencial.

A Base Científica e Experimental da Sequência

O interesse científico pela sequência de Fibonacci cresceu ao longo dos anos, levando a descobertas e aplicações em diversas áreas. O matemático francês Édouard Lucas, no século XIX, contribuiu para o estudo ao revelar a relação da sequência com a “divisão áurea”, um conceito presente na natureza e nas artes (LUCAS, 1877). A proporção áurea, derivada da sequência, encontra aplicações em áreas tão diversas quanto a arquitetura, biologia e arte.

A experimentação com a sequência de Fibonacci transcendeu os limites teóricos. O campo da botânica, por exemplo, testemunhou a observação de padrões da sequência em estruturas de plantas, como a disposição de folhas ou sementes em uma flor. Essa regularidade é um exemplo vivo da aplicação prática da sequência na modelagem de fenômenos naturais.

A sequência de Fibonacci tem aplicações em várias áreas da ciência, incluindo a biologia, a física e a ciência da computação. Na biologia, a sequência de Fibonacci pode ser observada em várias configurações biológicas, como a disposição dos galhos das árvores, as pétalas das rosas, os frutos como o abacaxi, e as conchas espiraladas dos caracóis.

Na física, a sequência de Fibonacci é usada para descrever certos fenômenos naturais. Por exemplo, a sequência pode ser usada para modelar o crescimento de uma população de coelhos, como Fibonacci originalmente fez. Além disso, a sequência de Fibonacci também é usada em teorias físicas mais avançadas, como a teoria das cordas.

Na ciência da computação, a sequência de Fibonacci é frequentemente usada em algoritmos e programação. Algoritmos que envolvem recursão, como o cálculo de números de Fibonacci, são comuns em ciência da computação6. Além disso, a sequência é usada em técnicas como a busca binária e em algoritmos de ordenação.

Aplicações Práticas e Desenvolvimentos Modernos

No cenário contemporâneo, a sequência de Fibonacci é um componente essencial em diversas disciplinas científicas e tecnológicas. A teoria dos grafos, por exemplo, incorpora a sequência em algoritmos eficientes para resolver problemas práticos, desde roteamento de redes até otimização de sistemas.

Na informática, a sequência de Fibonacci desempenha um papel vital em algoritmos e estruturas de dados, como a técnica de programação dinâmica. Sua presença é evidente em áreas tão variadas quanto criptografia e processamento de imagens, demonstrando a versatilidade da sequência na resolução de problemas complexos.

Existem vários experimentos que podem ser realizados para explorar a sequência de Fibonacci. Um exemplo simples é criar uma sequência de Fibonacci usando uma série de adições simples1. Começando com 0 e 1, cada número subsequente na sequência é a soma dos dois números anteriores1. Este experimento simples demonstra a regra básica que define a sequência de Fibonacci.

Outro experimento envolve a criação de um “Retângulo de Ouro” usando a sequência de Fibonacci. Começando com um quadrado de lado, cada quadrado subsequente na sequência tem um lado que é a soma dos lados dos dois quadrados anteriores. Ao desenhar um arco dentro de cada quadrado, é possível criar uma “Espiral de Fibonacci”.

Um terceiro experimento envolve a observação da sequência de Fibonacci na natureza. Por exemplo, o número de pétalas em muitas flores segue a sequência de Fibonacci. Da mesma forma, a disposição das sementes em um girassol ou as escamas em um cone de pinho também seguem a sequência de Fibonacci.

Três Exemplos Práticos de Aplicações em Projetos

1. Design Arquitetônico: A sequência de Fibonacci é frequentemente utilizada em projetos arquitetônicos para criar proporções esteticamente agradáveis e equilibradas. O arquiteto Le Corbusier, ao aplicar os princípios da sequência em suas obras, afirmou: “A arquitetura é o jogo sábio, correto e magnífico dos volumes dispostos sob a luz” (LE CORBUSIER, 1923). Essa abordagem orientada pela sequência resultou em edifícios icônicos que incorporam harmonia visual e estrutural.
2. Mercado Financeiro: A sequência de Fibonacci também encontra aplicação na análise técnica do mercado financeiro. Investidores e traders utilizam níveis de retração e extensão baseados na sequência para prever possíveis pontos de reversão ou continuação de tendências (ELLIOTT, 1938). Essa abordagem, popularizada por analistas como Ralph Nelson Elliott, destaca a presença da sequência não apenas na natureza, mas também nos movimentos de preços. Da mesma forma também usada para prever mudanças nos preços das ações. Os números da sequência de Fibonacci são usados para calcular os níveis de “retração de Fibonacci”, que identificam possíveis níveis de suporte e resistência no preço de um ativo.
3. Ciência da Computação: Algoritmos de otimização baseados na sequência de Fibonacci são empregados em problemas de programação linear, como o famoso problema da mochila. A eficiência desses algoritmos destaca a capacidade da sequência de Fibonacci de transcender sua origem matemática e contribuir para soluções práticas em diferentes campos da ciência da computação. Também usada numa variedade de algoritmos e estruturas de dados. Por exemplo, usada para otimizar algoritmos de busca e ordenação. Além disso, é usada em algoritmos de codificação de dados, como o algoritmo de Huffman.

Na teoria dos jogos, a sequência de Fibonacci é usada para resolver certos tipos de jogos de soma zero. Por exemplo, pode ser usada para determinar a estratégia ótima em um jogo de “pedra, papel e tesoura” modificado.

Referências Bibliográficas

ELLIOTT, Ralph Nelson. The Wave Principle. 1938.

FIBONACCI. Liber Abaci. 1202.

LE CORBUSIER. Vers une architecture. 1923.

LUCAS, Édouard. Récréations Mathématiques. 1877.

PINGALA. Chandah-shastra. c. III a.C.

Nota: Parte do texto foi produzida em sinergia com IA.

Reginaldo Leôncio Silva

Titulação: Graduação em Licenciatura pela Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia. Especialização em Matemática Pura pela Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia. Mestre em Matemática pela Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia (Curso Profmat).

Atualmente Doutorando do curso de Matemática Aplicada da Unicamp.

Experiência Profissional: Professor Assistente do Departamento de Ciências Exatas e Naturais da Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia, Campus de Itapetinga, desde 2010 até os dias atuais.

Comentários

Amei a palestra ansiosa pelas próximas (Ana Caroline Oliveira da Silva)

Parabéns pela Excelente Palestra. Sou professor de Matemática e Física e os aprendizados foram mais que satisfatórios. Fiz várias anotações e estou muito satisfeito com esse excelente conteúdo. Obrigado! (André Stefanini Jim)

Ótima aula e conteúdo sensacional (Atos Vinicius Mendonça Alves)

A matemática presente na natureza. (Audrey Stephanne de Oliveira Gomes)

Palestra show, excelente parabéns (Cláudio Firmino Arcanjo)

Excelente palestra 🙂 (Érica Oliveira de Sousa)

Palestra muito boa (Erick Lucas Correia Cordeiro)

Ótima palestra (Ester Lopes Mendonca)

Ótima palestra. De fato, a sequência de Fibonacci possui muitas propriedades instigantes (Felipe Ramos Costa)

Excelente Palestra. (Fernando Vasconcelos da Rocha.)

Excelente tema e palestra! (Flávio Maximiano da Silva Rocha)

Um assunto instigante que adoro! Fortemente aplicável no mercado financeiro, que amo! Parabéns prof. (Francisco Isidro Pereira)

Parabéns! Obrigada pela excelente palestra! (Irla Leite de Souza)

Tema excelente e palestra maravilhosa (Ivanildo da Cunha Ximenes)

Uma proposta bem interessante apresentada pela professora Ana Maria. Parabéns! (Jaqueline de Assis Carvalho)

Excepcional a palestra (Jefte Dodth Telles Monteiro)

Excelente tema. (José Jânio Ferreira dos Santos)

Brilhante palestra (José Maria Dos Santos Lobato Júnior)

Muito aprendizado nesta palestra (Josefa Elizabete Lucena Rodrigues Alves)

Excelente apresentação (Laelson de Lira Silva)

Maravilhosa (Lélia de Oliveira Cruz)

Muita profunda palestra do professor Reginaldo sobre Fibonacci. Parabéns professor. (Lucia dos Santos Bezerra de Farias)

Muito boa palestra Reginaldo, parabéns!!!! (Luiz José da Silva)

Parabéns pela palestra. (Maria José da Silva)

Excelente palestra! Fibonacci e a natureza! Fantástico! Parabéns prof. Reginaldo! (Maxwell Gonçalves Araújo)

Parabéns pela palestra, explorando sobre uma temática super importante dentro da matemática com suas aplicações no cotidiano. Excelente! (Michael Douglas Batista De Araújo)

Parabéns professor Reginaldo Leôncio! Dois conceitos fascinantes na Matemática o número de ouro e a sequência de Fibonacci são estudados e explorados por matemáticos, cientistas e artistas ao longo dos séculos. Excelente. (Miron Menezes Coutinho)

Palestra incrível. Sem dúvida alguma, o título fez jus à palestra. Foi um show e realmente a sequência Fibonacci é fantástica. (Naftali Morais Silva)

Boa palestra. (Paul Lee Marques)

Ótima apresentação do prof. Reginaldo Leôncio. (Paulo Sérgio de Andrade Moraes)

Excelente e fascinante palestra. (Paulo Sérgio Sombra da Silva)

Ótima apresentação (Rafael Da Silva Carvalho)

Excelente apresentação (Ricardo Campanha Almagro)

Adorei o curso (Ricardo Mesquita Barros Rolim)

Ótima apresentação de um tema interessantes que pode despertar a curiosidade dos alunos nas escolas! (Rosa Elvira Quispe Ccoyllo)

Gratidão! (Sandro Alves de Azevedo)

AULA EXCELENTE!!!! (Sara Jamily Firmino da Silva)