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O papel da linguagem nas Matemáticas transcende a mera comunicação, englobando elementos críticos como sintaxe e semântica que impactam diretamente a proficiência e o pensamento matemático. Este artigo, fundamentado no estudo das linguagens matemáticas, analisa diversos enguiços linguísticos e disfunções na comunicação que dificultam o aprendizado e a prática. São explorados em profundidade o Modelo dos Campos Semânticos (MCS), a Equivalência Semântica, os Registros de Representação Semiótica e a Congruência Semântica como ferramentas cruciais para a superação das barreiras abstratas na educação matemática. Discute-se o rigor linguístico excessivo e a memorização de conteúdo como fatores prejudiciais que afastam os estudantes do Pensar Matemático, propondo a centralidade da compreensão e da aplicabilidade no mundo real.
Palavras-Chaves: Linguagem Matemática, Semântica, Sintaxe, Proficiência Matemática, Registros de Representação Semiótica,
Matemática não é linguagem.
Linguagem nas Matemáticas, por muito, é confundida com a própria Matemática. Todavia, a linguagem é um veículo importantíssimo para a comunicação entre pessoas, não objeto em si das ciências. Nesse sentido, a conceituada Encyclopædia Britannica epiloga na espécie o que segue, ad litteram:
Muitas definições de linguagem têm sido propostas. Henry Sweet, um fonético inglês e estudioso da linguagem, declarou: “A linguagem é a expressão de ideias por meio de sons da fala combinados em palavras. As palavras são combinadas em frases, esta combinação respondendo àquela de ideias em pensamentos.”
Os linguistas americanos Bernard Bloch e George L. Trager formularam a seguinte definição: “Uma língua é um sistema de símbolos vocais arbitrários por meio dos quais um grupo social coopera”. Qualquer definição sucinta de linguagem faz uma série de pressuposições e levanta uma série de questões. A primeira, por exemplo, dá peso excessivo ao “pensamento” e a segunda usa o “arbitrário” de forma especializada, embora legítima.[1] (ROBINS; CRYSTAL, 2022)
Isso implica num conhecimento de linguagem como sistema de símbolos para a comunicação de grupos sociais, quer através da escrita, quer da fala, ou na combinação dessas.
Não tão distante está a conceituação das linguagens matemáticas, como se toma de um dos mais respeitados especialistas nesse particular, nomeadamente o Prof. Vann McGee, professor do Department of Linguistics and Philosophy, no Massachusetts Institute of Technology (MIT), com domínios em metafísica, em filosofia da linguagem, em lógica e também em filosofia da lógica, da matemática e da probabilidade, que assim se expressa:
O realismo matemático é a doutrina de que os objetos matemáticos realmente existem, que as afirmações matemáticas são determinadamente verdadeiras ou falsas e que os axiomas matemáticos aceitos são predominantemente verdadeiros. Uma compreensão realista da teoria dos conjuntos é que, quando as sentenças da linguagem da teoria dos conjuntos são entendidas em seu significado padrão (de modo que ‘∈’ representa a relação elementar e os quantificadores abrangem todos os conjuntos existentes), cada sentença tem um valor de verdade determinado, de modo que existe um fato da questão se a cardinalidade do continuum é À2 ou se existem cardinais mensuráveis, sejam ou não esses fatos conhecíveis por nós.[2] [Tradução e destaque nosso] (McGee, 1997, p. 35)
Ainda que, McGee trate da cardinalidade de fatos, não deixa de insistir que as sentenças matemáticas dispõem de valor de verdade determinado, que naturalmente é o conteúdo da comunicação que a linguagem produz para a comunidade dos matemáticos e pesquisadores. Dessa forma, a linguagem não encontra, não descobre ou cria, muito menos ainda vai analisar o conteúdo matemático, mas tão somente, através de sentenças, comunica seu “valor de verdade determinado” ou até mesmo a sua descoberta ou construção.
É bem verdade que a relação linguagem versus matemáticas não é tão harmônica como desejado. Isso nos instrui Ferrari com grande propriedade nos seguintes termos:
O papel da linguagem na aprendizagem da matemática é um tópico crítico, e geralmente é tratado a partir de uma variedade de perspectivas teóricas. Uma questão controversa são as relações entre os processos de comunicação e o desenvolvimento do pensamento. Na opinião de alguns pesquisadores pensamento e comunicação estão intimamente ligados, enquanto outros os consideram processos bastante independentes.[3] [Tradução e destaque nosso] (FERRARI, 2004, p. 383)
E do mesmo autor tomamos mais o que segue:
A própria linguagem da matemática é interpretada a partir de uma variedade de perspectivas. Na opinião de boa parte dos matemáticos, as características específicas da linguagem matemática residem principalmente no formalismo matemático. Por outro lado, a linguagem verbal é amplamente utilizada em atividades matemáticas (incluindo pesquisa), e os problemas relacionados à linguagem não se limitam ao componente simbólico.[4] [Tradução e destaque nosso] (Ibda.)
Daqui tomamos a variedade de perspectivas, o formalismo matemático e a não limitação do componente simbólico. Evidentemente, Ferrari lembra-nos a incidência das qualidades hermenêuticas e exegéticas nas linguagens matemáticas, que como tratado mais a frente, estão presentes em todas as linguagens.
Ferrari ainda nos leva a uma reflexão enormemente instigante, como se pode observar abaixo:
Presumo que a maioria dos educadores matemáticos, independentemente do referencial teórico que adotem, concordaria que os problemas linguísticos podem prejudicar qualquer intervenção posterior, pois os alunos podem entender mal o que lhes é dito ou lido, ou serem incapazes de expressar o que querem dizer. Deve ser amplamente reconhecido também que esta questão se torna ainda mais importante se grupos de estudantes de línguas minoritárias estiverem envolvidos.[5] [Tradução e destaque nosso] (Ibda.)
A dúvida surge naturalmente: a deficiência está no entendimento dos alunos (eventualmente de línguas minoritárias) ou na pouquidade linguística (ou extrema simplicidade) das linguagens matemáticas. Essa questão exige uma análise aprofundada. Mesmo ainda, quando o desenvolvimento galopante das Matemáticas, as expressões e sentenças linguísticas se tornam, não raro, ininteligíveis mesmo para matemáticos com larga experiência e desenvoltura científica.
Nesse particular, Ferrari conclui:
Além disso, se alguém assume também que “aprender matemática pode agora ser definido como uma iniciação ao discurso matemático, …”, e as línguas são consideradas não como portadoras de significados pré-existentes, mas como construtoras dos próprios significados, então os meios linguísticos adotados na comunicação matemática são cruciais também no desenvolvimento do pensamento matemático. Assim, recursos linguísticos pobres produziriam um desenvolvimento pobre do pensamento.[6] [Tradução e destaque nosso] (Ibda.)
Aqui vale lembrar a tradição na Álgebra Abstrata em operar apenas ferramentas aritméticas, quando a Álgebra Abstrata foi urdida justamente nos empasses aritméticos para entestar equações de graus superiores. E nessa trilha encontramos a história de um dos maiores gênios da Matemática desde Gauß, nomeadamente Évariste Galois. Esse jovem francês, tido reconhecidamente desde a adolescência como buliçoso estudioso das Matemáticas, tentou por 2 vezes estudar matemática na mais reconhecida Escola Superior de sua época em Paris: École Polytechnique.
Infelizmente o menino Galois não logrou êxito; o motivo foi:
Algumas semanas após a morte de seu pai, Galois se apresentou para exame de ingresso na École Polytechnique pela segunda vez. Pela segunda vez ele falhou, talvez em parte porque o aceitou nas piores circunstâncias possíveis logo após a morte de seu pai, em parte porque nunca foi bom em comunicar suas profundas ideias matemáticas.[7] [Tradução e destaque nosso] (O’CONNOR; ROBERTSON, 1996)
Essas circunstâncias que vão prejudicar fortemente o jovem revolucionário e matemático francês não está encoberto com qualquer lógica, posto que seus rendimentos na Matemática foram reconhecidos desde a pré-adolescência, conforme se toma abaixo:
De volta a Louis-le-Grand, Galois matriculou-se nas aulas de matemática de Louis Richard. No entanto, ele concentrou-se cada vez mais em suas próprias pesquisas e cada vez menos em seus trabalhos escolares. Ele estudou Géométrie de Legendre e os tratados de Lagrange. Como Richard chegou a relatar:
Este estudante trabalha apenas nos reinos mais elevados da matemática.[8]
[…]
Ele foi aprovado, recebendo seu diploma em 29 de dezembro de 1829. Seu examinador em matemática relatou:
Este aluno é por vezes obscuro na expressão das suas ideias, mas é inteligente e mostra um notável espírito de investigação.[9] [Tradução e destaque nosso] (Ibda.)
Ainda sobre a questão da linguagem em face da comunicação encontramos um interessante trabalho sob o título “Linguagem e comunicação na educação matemática: um panorama das pesquisas na área”[10]. Nesse trabalho, vamos perscrutar uma importante guinada ainda não atinada pelos cursos de licenciatura, senão vejamos:
Identificamos quatro grandes áreas de preocupação na educação matemática que são abordadas pela pesquisa orientada para a linguagem: análise do desenvolvimento do conhecimento matemático dos alunos; compreender a conformação da atividade matemática; compreender processos de ensino e aprendizagem em relação a outras interações sociais; e contextos multilíngues. Uma outra área de interesse que ainda não recebeu atenção substancial dentro da pesquisa em educação matemática é o desenvolvimento das competências linguísticas e conhecimentos necessários para a participação em práticas matemáticas.[11] [Tradução e destaque nosso] (MORGAN et al., 2014)
Não há como não deixar de observar uma incisiva mudança de postura, como análise do desenvolvimento do conhecimento matemático, compreender a conformação da atividade matemática, compreender outras interações sociais, contextos multilíngues. Por tudo isso, se ganha a forte impressão de que o Ensino da Matemática se torna um processo de compreender as matemáticas.
Enguiços Linguísticos
As dificuldades linguísticas no âmbito da Educação Matemática nem sempre merecem as devidas preocupações por parte dos educadores. Essas dificuldades são bem mais constantes do que se espera. Elas se destacam habitualmente na tensão entre entender e representar, quando a inversa também procede. Se o aluno entende o problema da realidade, não significa que poderá representar facilmente em linguagem matemática; noutro momento, ele pode entender e manejar uma expressão de equação do segundo grau e desenvolver enorme embaraço para aplicá-la no seu cotidiano. O fenômeno se pode aduzir dessa admoestação em relação à conversão linguísticas de fenômenos da realidade, in verbis:
Contudo, a atividade de conversão não é tão simples, o que leva Duval a tratar da noção de congruência. Assim, a conversão entre registros implica ser analisada em termos de “congruência”, ou seja, sobre a correspondência semântica entre as unidades significantes de cada uma das representações (DUVAL, 1995, p. 45-52). Se há congruência entre duas representações, a passagem de uma à outra será mais evidente. Se for o contrário, o processo será extremamente difícil e delicado. [Destaque nosso] (FLORES; MORETTI, 2008)
No proêmio de um interessante e espirituoso artigo sobre a questão da Análise Não-Standard, assentado por 2 de seus alunos da pós-graduação, o Prof. Irineu Bicudo (Departamento de Matemática da UNESP – Rio Claro- SP) nos traz a seguinte questão;
O fato de o Cálculo Infinitesimal ser inteiramente baseado na noção de limite tem como efeito colateral um grave defeito para a Matemática: esvazia completamente toda consideração de grandeza; por exemplo, para ela não há qualquer diferença qualitativa entre números como 1, 10-2, 10-100, 10-1000.
Antes de trabalharem em termos de limite, os matemáticos recorriam aos infinitamente pequenos e aos infinitamente grandes (Guillaume de l’Hospital, Leibniz…). O fracasso de todas as tentativas de teorização dos infinitésimos conduziu d’Alembert, Lagrange e Cauchy, depois e Weierstrass e Dedekind a rejeitá-los em proveito do conceito (moderno) de limite, considerado como remédio (com o efeito colateral acima descrito) para o mal da falta de rigor. Aquele defeito não pode ser desconsiderado quando se leva em conta o vasto campo de aplicação da Matemática: o físico, o engenheiro, o biólogo, o economista, etc. podem praticá-la tanto quanto o matemático. [Destaque nosso] (BICUDO, 1992)
Aqui é retratado um revés extremante sério e geralmente, no mínimo, desmerecido nos círculos matemáticos, mas que corrobora para um estremecido intercurso entre a teoria e a prática das Matemáticas. E o Prof. Irineu está com plena razão quando qualifica essa situação como mal da falta de rigor. Em tom um pouco jocoso, ele conclui:
Nas ciências da natureza, bem como nas humanas, a consideração de ordens de grandeza diferentes e comparáveis é a mais incontornável possível; talvez para o físico e para o engenheiro, o remédio seja pior do que o mal (o que nos faz lembrar a quadrinha que a tradição atribui ao grande sonetista português Bocage):
Aqui jaz um homem rico
Nesta rica sepultura,
Que sarava da moléstia
Se não morresse na cura. [Destaque nosso] (Ibda.)
É bem verdade que nas diversas linguagens há de se observar inúmeras imperfeições e falta de rigor, mas os profissionais da área portam sempre o múnus, em especial na formação de jovens, de advertir sobre essas impurezas, sob o malefício, dessas imperfeições espargir na própria ciência, in caso, nas Matemáticas.
Sintaxe
Não se pode, em especial, quando referido às Matemáticas, tratar de Sintaxe sem lembrar de Paul Rudolf Carnap (1891 – 1970), matemático, físico e filósofo alemão, versado doutrinador do empirismo lógico, seguidor de Gottlob Frege, de Bertrand Russell e de Alfred North Whitehead.
Na sua segunda grande obra, Sintaxe Lógica da Linguagem[12] [Tradução nossa] (1934), Carnap vai defender uma filosofia construída por meio da “lógica científica”, qual seja pela análise lógica da linguagem científica, assim formulando:
Queremos entender o termo ‘lógica científica‘ em um sentido muito amplo. Deve significar a área de todas as questões que normalmente são referidas como lógica pura e aplicada, como análise lógica das áreas individuais da ciência ou da ciência como um todo, como epistemologia, como problemas fundamentais ou similares.[13] [Tradução e destaque nosso] (CARNAP, 934)
A compreensão esposada por Carnap sobre o mecanismo que uma palavra ou um termo aufere significado, foi descrito em sua obra A Superação da Metafísica pela Análise Lógica da Linguagem[14] [Tradução nossa] no seguinte arremate:
Vamos resumir brevemente o resultado de nossa análise. Seja “a” alguma palavra e “S(a)” a sentença elementar onde ela ocorre. A condição necessária e suficiente para “a” ser significativa pode ser dada por cada uma das seguintes formulações, que em última instância dizem a mesma coisa:
1. Os critérios empíricos para “a” são conhecidos.
2. Foi estipulado a partir de quais sentenças protocolares “S(a)” é dedutível.
3. As condições de verdade para “S(a)” foram fixadas.
4. O método de verificação de “S(a)” é conhecido.[15] [Destaque nosso] (CARNAP, 1931, p. 224)
Como visto, nas linguagens matemáticas, o processo semântico é bem mais complexo que esperado, perpassando formulação de critérios empíricos, sentenças de dedução, condições de verdade e método de verificação. Importante ressaltar que Carnap não fala em demonstração. E pelo descrito, o matemático necessita de processos empíricos na elaboração de sentenças sintáticas.
Naturalmente, para Carnap a lógica matemática é bem mais eficiente para constituir sentido para as palavras do que a Metafísica, que na leitura dele, é bem difusa, no mínimo insegura. Nessa ânsia de destituir a Metafísica como ferramenta hábil na instrumentalização de uma sintaxe que seja aceita por cientista e pesquisadores, ele se utiliza de duas palavras bem inusitadas: princípio e deus. Esses dois conceitos são apresentados como palavras sem significado.
Ad princípio, ele discorre com várias indagações, e.g. princípio do mundo, das coisas, da existência e do ser, da água, do número, da forma, do movimento, da vida, do espírito da ideia e algumas outras. Finda por simplificar numa expressão do tipo “x é o princípio de y”, “y surge de x”, “o ser de y repousa sobre o ser de x”, “y existe por virtude de x”. Entretanto, na avaliação de Carnap (Ibda., p. 224-225), estas palavras continuam ambíguas e vagas, justo por a Metafísica não necessitar do processo empírico para definir palavras ou conceitos.[16]
Ad deus, naturalmente ele deseja diferenciar entre o ambiente mitológico e o teológico. Mesmo assim entre o Monte Olimpo e o Céu, Carnap não enxerga uma maneira de conceber significado para esses vocábulos. Por fim conclui que são entes abstratos, porquanto destituídos de significado, já que inacessíveis pelo experimento ou pelo empirismo.
Grande infelicidade assiste a Carnap nessa análise, apesar de longa argumentação. As Matemáticas, assim como todas outras ciências, não podem prescindir do uso da Metafísica para elucidar suas questões, mesmo porque as Matemáticas possuem um vasto universo abstrato e transcendental para mensurar e analisar.
Para melhor compreender e perceber a importância da Metafísica nas Matemáticas nos utilizamos de objetos pictóricos da Geometria. (Ve-ja a Figura 9) Para tanto, à análise metafísica da projeção ortogonal do corpo cilíndrico no espaço, gerando duas sombras desse objeto, cada uma indicando objetos geométricos diferentes (quadrado e circunferência) verificamos que as três figuras, apesar do antagonismo, são verdadeiras (true) e inerentes a esse corpo, considerada a incidência de raios de luz. Dessa forma, a Metafísica vai indicar situações onde um corpo pode ter avaliações diferentes ou até antagônicas, e que o descreva como 3 figuras de diferentes geometrias. Assim, a Metafísica corrobora para uma precisão e completude na análise matemática, ofertando-lhe uma qualidade de excelência.
Mas, em contrário, faz-se necessário admitir que a exigência da atividade experimental e empírica na Matemática, aqui levantada por Carnap é por demais inteligível e louvável, mas sem prejuízo do uso da Metafísica, que talvez seja a ferramenta mais importante no trabalho matemático, após a Metamatemática. Alcançar precisão e excelência sem o uso da Metafísica e da Metamatemática é para o matemático encargo impossível.
Indiscutivelmente Carnap influenciou e ainda se impõe nas discussões sobre questões semânticas. Em sua dissertação de mestrado, o filósofo paulista Tiago Tranjan deseja entender essa influência, em especial, na seguinte ambiência, in verbis:
A Sintaxe Lógica da Linguagem, escrita por Rudolf Carnap no início da década de 1930, contém alguns aspectos notáveis. Dois deles, em particular, atraem a atenção dos estudiosos até hoje: a ideia inovadora defendida por Carnap – expressa pelo Princípio de Tolerância – de que não haveria uma moldura lógica privilegiada dentro da qual descrever o mundo; e a definição de analiticidade desenvolvida por Carnap para captar a noção de “verdade matemática”, em que aparecem, de forma pioneira, métodos hoje associados à moderna teoria semântica. [Destaque nosso] (TRANJAN, 2005, p. 4)
Mesmo assim descrevendo, Tranjan não vai concordar com a missão primeira de Carnap, qual seja transformar a filosofia numa simples análise lógica semântica, como se depreende da constatação a seguir:
A ideia de substituir a filosofia, em toda sua amplitude, pela simples análise sintática, é inegavelmente estranha. Em certa medida, e com o auxílio de alguma perspectiva histórica, não podemos nos furtar à impressão de que o projeto de Carnap parece fadado ao fracasso desde o início, devido à própria ambição com que é concebido. Trata-se de uma redução grande demais: Substituir toda a filosofia, área ilimitada do pensamento humano, pelo mero estudo de estruturas formais. Esse projeto, contudo, irá nos parecer menos enigmático se tivermos em mente – também desde o início – que ele é baseado não em uma, mas em duas reduções distintas. E que essas duas reduções possuem significados bem diferentes. [Destaque nosso] (Ibda., p. 12)
De forma idêntica se pode transferir a constatação de Tranjan para as Matemáticas, que, como a Filosofia, detêm gigantesco haveres em conhecimentos, intuições, axiomas e abstrações que envolvem toda a realidade conhecida e a conhecer pela humanidade em todos os tempos.
Nas Matemáticas não raro enfrentamos emaranhados e ensarilhados por demais ambíguos. Isso já ocorre com os trabalhos de Gödel em relação à Aritmética, que Tarski tenta solucionar, pelo menos melhorar. Mas quando Carnap peleja por desvendar esse emaranhado, então as circunstâncias e fundamentos restam insustentáveis. Há coisas da Matemática Clássica que não se deixa euclidianizar, então é tempo de assumir a postura não-euclidiana. Decididamente, estamos nessa situação no caso aqui analisado da obra de Carnap.
Seguindo ainda a vereda de Tranjan, vejamos essa sua asseveração, no mínimo inusitada:
Exatamente em que ponto, então, Carnap falhou ao tentar oferecer uma solução abrangente para a nova situação delineada pelo teorema de incompletude? É essa a questão que a seguir nos ocupará. [Destaque nosso] (Ibda., p. 128)
Tranjan, empós longas dissertações, explanações e citações, chega assim à leitura daquilo que Carnap entende a título de Princípio de Tolerância, ad litteram:
Para Carnap, é necessário desenvolver diferentes sistemas lógicos, cada um dos quais dotado de regras sintáticas claras. Um sistema lógico, nesse sentido, é um cálculo simbólico descrito de maneira clara o suficiente para permitir a compreensão de suas regras (ver Capítulo 2). Qualquer cálculo simbólico, desde que bem formulado, é admissível como sistema lógico. A única medida que temos para comparar esses diferentes sistemas deve ser procurada na ciência. Isso porque uma linguagem formal não é desenvolvida para ser um mero “brinquedo” formal, mas para permitir a descrição de certos domínios de interesse científico. As diferentes linguagens, portanto, poderão mostrar-se mais ou menos adequadas de acordo com as necessidades de uma ou outra ciência. As relações lógicas verificadas dentro das diferentes linguagens (sua estrutura dedutiva) poderão ou não espelhar relações encontradas em um ou outro ramo do conhecimento. E somente essa utilização prática é que permitirá selecionar entre os muitos sistemas lógicos possíveis – não de maneira absoluta, com o objetivo de escolher ou encontrar o único sistema lógico verdadeiro, mas de maneira relativa, segundo os critérios e a metodologia local de cada ciência. [Destaque nosso] (Ibda., p. 142)
Em seguida o mesmo Tranjan ainda comenta:
Do nosso ponto de vista, interessa agora enfatizar que a adoção do Princípio de Tolerância corresponde, do ponto de vista de Carnap, a uma rejeição de qualquer ideia de verdade absoluta em matéria de lógica. Para ele, não é possível falar em uma única lógica “verdadeira”, que traduza algo como as “verdadeiras” relações (lógicas) verificadas no mundo. [Destaque nosso] (Ibda., p. 143)
Facit: Carnap enseja uma lógica particular para a Matemática, pelo menos para a Aritmética, talvez para encapotar as contradições contidas no seu método e teoria analítica (analiticidade).
Já na aferição do critério carnapiano da “Verdade Matemática”, o filósofo paulista assim se expressa:
Por outro lado, é necessário compreender as razões que levam Carnap a recusar, veementemente, o conceito de “verdade” como um conceito logicamente admissível, ao mesmo tempo em que trabalha – conforme veremos – sob sua influência ineludível e poderosa.
De maneira geral, pode-se dizer que há uma constante tensão, fundamental para a compreensão de SLL[17], entre a noção sintática de analiticidade – solução oferecida por Carnap para os problemas teóricos que enfrenta – e a noção – que Carnap considera como não-sintática, e portanto intratável do ponto de vista lógico – de verdade. Essa tensão perpassa todo o livro. [Destaque nosso] (Ibda., p. 121)
E a dita tensão pela contradição sobre existência de uma verdade na sua teoria não dissipa em nenhum momento. Em contrário, torna-se relevante e substancial em múltiplos cenários. Não obstante, restou claro que sintaxe nas Matemáticas é fortemente influenciada pela lógica, mesmo que da linguagem.
Semântica
Não é muito incomplexo completar uma conceituação de semântica. Feist faz uma tentativa e assim se exprime:
Em segundo lugar, parece essencial distinguir entre significado linguístico (presumivelmente na faculdade linguística) e significado cognitivo (presumivelmente na faculdade cognitiva), como se existissem dois estratos “semânticos”. Poderíamos evitar essa dicotomia se falássemos de um gradiente entre os dois, o que é mais preciso em um aspecto (ver Capítulo 3, §2.4 sobre áreas de significado), mas sentidos complexos comumente combinam elementos cognitivos e linguísticos.[18] [Tradução e destaque nosso] (FEIST, 2022, p. 281)
A seguir completa:
“Semântica” pode então significar “fazer com significado na linguagem”. Significado na língua é tudo o que seus signos evocam nos ouvintes e leitores de acordo com o sistema gramatical da língua; que exclui as interpretações idiossincráticas do ouvinte e (é claro) qualquer “significado” que o falante pretenda, mas não perceba nos singnos. Quanto ao “significado”, parece melhor estender seu significado ao da significação do que restringi-lo aos sentidos mais variados e mal definidos que teve no passado.[19] [Tradução e destaque nosso] (Ibda., p. 182)
Ainda na lição de Feist, se toma sobre estrutura semântica:
Diferentes tipos de estrutura semântica ocorrem porque, conforme observado nos princípios gerais (Capítulo 1, §5), a linguagem serve a funções diferentes (que em muitos casos precisam de estruturas diferentes) e porque a linguagem muda prontamente o suficiente para desenvolver novas estruturas.
Não se supõe que todas as línguas tenham as estruturas discutidas neste capítulo. Em particular, parece-me que algumas línguas não têm estrutura de grupo, e espero que algumas não tenham uma estrutura linguística acima da oração, e a estrutura linguística pode ser apenas a das palavras em um enunciado. Isso acarretaria limitação da estrutura semântica, bem como limitação da estrutura sintática.[20] [Tradução e destaque nosso] (Ibda., p. 182)
Com isso, Feist oferece às linguagens matemáticas o direito às suas simplicidades e sinteticidades estruturais semânticas.
Todavia, para os matemáticos essas questões continuam confusas ou vagas. Mas, nada que não se contorne, como nos ensina pesquisadores de Cambridge, de forma bem clara e convincente, in litteris:
Semântica é o estudo do significado na linguagem.
[…]
Pode parecer a você que o significado é tão vago, insubstancial e evasivo que é impossível chegar a qualquer conclusão clara, concreta ou tangível sobre ele. Esperamos convencer-lhe de que, por meio de uma reflexão cuidadosa sobre o idioma que você fala e a maneira como é usado, pode-se chegar a conclusões definitivas sobre o significado.[21] [Tradução e destaque nosso] (HURFORD; HEASLEY; SMITH, 2007, p. 1)
Esse livro é um excelente instrumento para a habilitação no manejo da semântica, não só em inglês. Os autores apresentam várias situações, diálogos, trechos literários e frases, que são analisadas na prática e devidamente comentados nos pormenores, possibilitando assim o exercício intensivo do uso da análise semântica em vários casos específicos.
Entre os inúmeros comentários de grande relevância, escolhemos o seguinte:
Todas as coisas ditas nesta conversa são significativas de uma forma ou de outra. Mas não se deve igualar significação com informatividade em um sentido estrito. Embora seja verdade que muitas sentenças carreguem informações de maneira direta, também é verdade que muitas sentenças são usadas pelos falantes não para fornecer alguma informação, mas para manter as rodas sociais girando suavemente.
Assim, a troca não informativa de A e B sobre o tempo serve para assegurar a ambos que existe um relacionamento amigável e cortês entre eles. Mesmo quando as sentenças produzidas são de fato informativas, como quando B conta a A sobre sua próxima viagem à França, o ouvinte muitas vezes não tem necessidade específica da informação dada. A prestação de informações é em si um ato de cortesia, realizados para fortalecer as relações sociais. Isso também faz parte da comunicação.[22] [Tradução e destaque nosso] (Ibda., p. 4)
A escolha recaiu nesse trecho para formular a seguinte reflexão: Esse contexto se aplica às linguagens matemáticas? Se pensarmos o antigo e recorrente embrulho da radiciação e a qualidade de seu resultado: ou
. Qual dessas expressões carrega informação? Ou as duas carregam informação? São esses tipos de situações que levam as Matemáticas a buscarem novos conhecimentos e/ou definições através do estudo semântico das expressões, mesmo ao uso da Metamatemática ou da Metafísica.
Modelo dos Campos Semânticos (MCS)
Trata-se de um sistema, muito mais uma postura, no Ensino da Matemática, descrito de formas diferentes e conforme a fasson de cada autor, que exsurge, e.g., da constatação que numa sala de aula com um professor e 30 alunos, de tudo o que for ensinado, discutido e estudado, resultará em 31 cognições diferentes, conforme a estrutura de personalidade e histórico sociopsicológico de cada um. Relatos falam de mais de 20 anos de prática desse sistema.
O arcabouço teórico do MCS é bem embaraçado e vasto, entretanto na decodização de LINS (2012) podemos identificar os seguintes elementos:
Conhecimento
Um conhecimento consiste em uma crença-afirmação (o sujeito enuncia algo em que acredita) junto com uma justificação (aquilo que o sujeito entende como lhe autorizando a dizer o que diz).
Acreditar (Crença)
Aqui é preferível uma caracterização pragmática: direi que uma pessoa acredita em algo que diz se age de maneira coerente com o que diz.
Autor-Texto-Leitor
Quem produz uma enunciação é o autor. O autor fala sempre na direção de um leitor, que é constituído (produzido, instaurado, instalado, introduzido) pelo o autor. Quem produz significado para um resíduo de enunciação é o leitor. O leitor sempre fala na direção de um autor, que é constituído (produzido, instaurado, instalado, introduzido) pelo o leitor.
Campo Semântico
Um processo de produção de significado, em relação a um núcleo, no interior de uma atividade.
Interlocutor
O interlocutor é uma direção na qual se fala. Quando falo na direção de um interlocutor é porque acredito que este interlocutor diria o que estou dizendo e aceitaria/adotaria a justificação que me autoriza a dizer o que estou dizendo.
Justificação
Não é justificativa. Não é explicação para o que digo. Não é algum tipo de conexão lógica com coisas sabidas. É apenas o que o sujeito do conhecimento (aquele que o produz, o enuncia) acredita que o autoriza a dizer o que diz.
Legitimidade/Verdade
Para o MCS, “verdadeiro” não é um atributo daquilo que se afirma (quando há produção de conhecimento), mas sim um atributo do conhecimento produzido. Já legitimidade aplica-se (ou não) a modos de produção de significado.[23]
Leitura Plausível/Leitura Positiva
Plausível porque “faz sentido”, “é aceitável neste contexto”, “parece ser que é assim”; positiva porque é o oposto de uma “leitura pela falta”.
Núcleo
O núcleo de um campo semântico é constituído por estipulações locais, que são, localmente, verdades absolutas, que não requerem, localmente, justificação.
Resíduo de Enunciação
Algo com que me deparo e que acredito ter sido dito por alguém.
Significado/Objeto
Significado de um objeto é aquilo que efetivamente se diz a respeito de um objeto, no interior de uma atividade. Objeto é aquilo para que se produz significado Sempre que há produção de significado há produção de conhecimento e vice-versa, mas conhecimento e significado são coisas de naturezas distintas.
Sujeito Biológico, Sujeito Cognitivo
Se todos os sujeitos biológicos morrerem, isto não implica que eu, como sujeito biológico, morra por causa disto. Se todos os sujeitos cognitivos morrerem (para mim; um apagamento), isto implica que eu, como sujeito cognitivo, morro.
O instinto de sobrevivência do ser biológico manifesta-se na alimentação e na reprodução. O instinto de sobrevivência do ser cognitivo se manifesta na pertinência (a culturas, práticas culturais, práticas sociais); “ser internalizado” quer dizer, precisamente, “ser pertencido”. Produzir significado é a estratégia que permite, na luta pela sobrevivência cognitiva, a pertinência. [Adaptação nossa] (Ibda., p. 3-29)
Todo esse (no mínimo indigesto) quadro de conceitos de matizes antropológica, psicológica e também de etnia, intrinca a compreensão e aplicação do MCS, mas Lins considera importante e para quem acha isso inoportuno, ele recomenda ler “o excelente Almanaque Armorial, de Ariano Suassuna.” (Ibda., p. 4)
Porém, em regra, o sistema não é tão confuso como parece, só exige que o professor pondere que cada aluno possui um aparelho cognitivo e historicidade individual e porquanto, não pensam e trabalham o conteúdo apresentado pelo professor em conjunto com os demais alunos, mas separadamente e de forma aleatória e diferente um do outro. E nessa premissa toda a nossa atividade didática e pedagógica deverá se basear para que obtenha algum sucesso. Mas, para melhorar a interação das cognições, recomenda-se incentivar a interlocução entre os alunos para que se conheça as subjetividades e individualidades do entendimento dos alunos, mesmo que com isso um certo nível de desalinho possa surgir.
Contudo, Lins deseja que seu sistema seja visto como
“um modelo epistemológico que propõe que conhecimento é uma crença-afirmação junto com uma justificação para a crença-afirmação. Indicamos, desta forma, que conhecimento é algo do domínio da enunciação — e que, portanto, todo conhecimento tem um sujeito — e não do domínio do enunciado; podemos também expressar este fato dizendo que conhecimento é do domínio da fala, e não do texto”. [Destaque nosso] (LINS, 1994, p. 29)
Discordamos radicalmente de Lins quando ele afirma que o conhecimento seja apenas do domínio da fala e não do texto. Mesmo em sala de aula, o aluno tem acesso à fala do professor, mas também e sobretudo do que foi escrito na lousa, bem como da totalidade do que consta no livro didático. Porquanto, a conjunção entre fala e texto está presente no momento em que o aluno se apossa do conhecimento. E suas teorias estão infestadas dessas burlas, que evidentemente maleficia grande parte do sistema por ele inventado.
Num outro momento ele assim se expressa:
A álgebra, como a Matemática, é um texto, e falaremos de conhecimento algébrico sempre que se enuncie, que se fale um conhecimento relativo a este texto, isto é, cuja crença-afirmação seja reconhecida como pertencendo a este texto. (Ibda.)
Reduzir a Álgebra e as Matemáticas a texto é pura teratologia, posto que denega o instrumento da abstração tanto numa como na outra, bem como a intuição e a criação abstrata nessas áreas. De outra forma, a própria semântica encerra também a possibilidade de um metatexto, porquanto explora bem além do texto. A abordagem de todos os deslizes metafísicos e ontológicos realizados por Lins nessa obra, extrapolaria as circunstâncias deste trabalho, motivo pelo qual ficamos nesses poucos exemplos.
Em síntese, consideramos a ideia inicial de Lins (considerar na Educação Matemática a aprendizagem e a cognição diferenciadas para todo indivíduo/aluno) muito interessante e necessária, mas a parte de teorização do sistema e de fundamentação necessita in totum, de ampla e profunda revisão. Nem tudo aquilo que não brilha deixa de ser diamante; às vezes só necessita de lapidação para alcançar o brilho.
No sentido estritamente matemático, a Equivalência Semântica restou descrita por vários autores, quando privilegiamos a versão adotada pelo Prof. Wolfgang Rautenberg, (Fachbereich Mathematik und Informatik, Freie Universität Berlin)[24], que assim entende:
1.3 Equivalência Semântica e Formas Normais
Ao longo deste capítulo, w sempre denotará uma valoração proposicional. As fórmulas α, β são chamadas (lógica ou semanticamente) equivalentes, e escrevemos α ≡ β, quando wα = wβ para todas as avaliações w. Por exemplo α ≡ ¬ ¬α. Obviamente, α ≡ β se para qualquer n tal que α, β ∈ ℱn, ambas as fórmulas representam a mesma n-ária função booleana. Segue-se que no máximo equações em ℱn podem ser inequivalentes aos pares, uma vez que não há mais do que
funções booleanas n-árias.[25] [Tradução e destaque nosso] (RAUTENBERG, 2010, p. 31)
Uma aplicabilidade extremamente inusitada da Equivalência Semântica, mas de igual forma relevante e emocionante, trata-se da chamada Experiência de Quase-Morte (EQM), que vai mensurar e analisar complexo de vivências místicas e sui generis relatadas por pacientes que atingiram o limiar da morte, entretanto conseguiram sobreviver. Um experimento a esse nível, impõe ao processo de matematização uma excepcional dimensão de complexidade e de no mínimo, dessemelhança e discrepância.
Entretanto, o cenário e respectivos critérios foram analisados primeiramente por um psiquiatra norte-americano, como revela a seguinte narração:
O termo “Experiências de Quase-Morte”, tradução de “Near-death Experiences”, cunhado pelo psiquiatra americano dr. Raymond Moody Jr., surgiu com a publicação do seu livro A vida depois da vida, em 1975. Moody Jr. (2004) descreve as experiências de 150 pessoas que viveram o fenômeno de quase-morte. Constatou que existem experiências comuns à maioria das pessoas que passaram pela EQM, tais como, dificuldade para descrever a experiência em palavras; ouvir o anúncio da sua própria morte; ouvir um zumbido desagradável ou música agradável nos ouvidos; ter um sentimento de paz e ausência de dor; ter uma experiência fora do corpo; sentir-se a viajar dentro de um túnel; ver “espíritos” ou pessoas, principalmente familiares já falecidos; ver uma revisão da própria vida; e sentir uma enorme relutância em voltar à vida. [Destaque nosso] (SERRALTA et al., 2010, p. 36)
Mas, a questão seria a matematização do inusitado fenômeno para que se possa analisar possíveis relações entre as vivências e circunstâncias. Para tanto, se fazia necessário a criação de um Ente Contingente a priori de re (ECPR)[26], que atendesse às necessidades na presente situação. Esse impasse foi solucionado com a criação da Escala de Experiência de Quase-Morte, conforme o relato abaixo, ad litteram:
A Escala de Experiência de Quase-Morte (Near-Death Scale) foi elaborada por Greyson (1983a) com base em um conjunto de manifestações características de EQM. Os itens do instrumento contemplam quatro dimensões que compõem as EQMs: cognitiva (tempo veloz, pensamentos acelerados, visão retrospectiva, compreensão ampliada, por exemplo), afetiva (sentimento de paz, prazer, calma, unidade com o universo e outros), paranormal (cenas do futuro, separação mente-corpo) e transcendental (ver pessoas mortas, seres de luz). A escala preliminar, com 33 itens, foi aplicada numa amostra de 74 sujeitos que teriam supostamente experienciado fenômenos característicos de uma EQM. Os itens que não apresentaram correlação com o total da escala foram retirados e sua versão final contém 16 itens pontuados numa escala tipo Likert de 0 a 3. Um escore igual ou maior que 7 indica a presença de uma EQM. Os estudos originais realizados com a escala demonstraram que a mesma possui alta consistência interna (coeficiente alfa de 0,88), precisão entre duas metades (coeficiente alfa de 0,84), estabilidade temporal (coeficiente alfa de 0,92) e validade convergente e discriminante satisfatórias. [Destaque nosso] (Ibda., p. 39)
Um grupo de pesquisadores brasileiros tentaram empenhar-se nessa questão conforme as regras e procederes manejados nos USA. Mas, o grande problema que sobreveio já de início foi a questão dos formulários e escalas utilizados na pesquisa originária que dependiam da linguagem, in caso, da língua inglesa (no projeto inicial) versus língua portuguesa (no projeto brasileiro); os efeitos semânticos deveriam possuir as mesmas qualidades e características linguística do projeto inicial. Aqui os brasileiros fazem uso da ferramenta Equivalência Semântica para garantir o rigor científico do experimento a ser realizado no Brasil, conforme abaixo relatado:
A etapa 4 consistiu na apreciação formal de equivalência semântica por quatro profissionais: dois psicólogos e dois psiquiatras. Todos os participantes dessa etapa eram bilíngues; nenhum tinha conhecimento prévio do instrumento. Para o julgamento da equivalência semântica, avaliaram-se os significados geral e referencial dos termos e das expressões de cada um dos 16 itens que compõem a escala (Herdman & cols., 1998; Reichenheim & cols., 2000). Para avaliar o significado referencial, julgou-se a equivalência entre os itens do instrumento original (VO) e da retrotradução (R1) de forma contínua, com notas variando entre 0 e 100% em uma escala analógica visual. Os significados gerais representam as ideias (conceitos) a que uma única palavra ou um conjunto de palavras aludem, levando em conta aspectos mais sutis que a correspondência literal. Assim, na equivalência semântica, leva-se em consideração não apenas o significado das palavras entre dois idiomas diferentes, mas também o efeito que os itens (perguntas) têm em culturas distintas. [Destaque nosso] (Ibda., p. 39)
Somente ao uso da Equivalência Semântica, o experimento no Brasil conseguiu o êxito desejado e garantido o rigor científico do projeto inicial.
Registros de Representação Semiótica
Com o advento das mídias sociais, constatou-se o interesse de grande parte de pessoas que normalmente não se encontram dentre as que se identificam como amantes da matemática, despertarem enorme interesse e até satisfação em solucionar o tipo de problema caracterizado na Figura 12, que naturalmente se mostrou como algo bastante inusitado, entre profissionais do ensino da matemática: odeia-se as equações lineares na forma algébrica, mas mostra-se grande afinidade às mesmas, desde que de forma pictórica e lúdica, como Registro de Representação Semiótica.
Evidentemente, que o processo de representação é extremamente importante para um proficiente manejo das Matemáticas. Por isso nem sempre é recomendado aplicar apenas uma só tática de reprodução semiótica, como orienta FLORES & MORETTI (2008, p. 30):
Na aprendizagem matemática, em particular, considerar mais de um registro de representação semiótica para o mesmo objeto é importante, porém é precise ainda que o aluno seja capaz de converter, de transitar entre uma e outra representação, o que implica numa congruência semântica para que o processo seja efetivado com êxito. [Destaque nosso]
Ainda que o tipo de representação apresentado na Figura 12, aparentemente, não se mostre muito interessante, mas analisada sob o aspecto da chamada Teoria do Registros de Representação Semiótica, mostra a intelecção de um cariz terminantemente intrigante. Talvez não se apresente tanto como divertido, quiçá como cativante, fascinante, irresistível ou tentador; quem sabe todos esses fatores contemplam a expectativa de entender qual fenomenologia alimenta o interesse despertado pela maioria das pessoas.
Contudo, qualquer que seja a motivação do deleite observado e estudando a questão com maior intensidade, naturalmente se esbarra na seguinte constatação:
Historicamente, os problemas que envolvem a passagem de um enunciado descrito em língua natural para uma expressão algébrica constituem, para muitos alunos, um abismo quase que intransponível. O tema tem despertado grande interesse de pesquisadores da Educação Matemática que procuram compreender tais dificuldades, bem como sugerir alternativas a fim de minimizar o hiato notado. [Destaque nosso] (LOURENÇO; OLIVEIRA, 2018, p. 84)
Isso obviamente aguça a curiosidade sobre um possível estudo desse fenômeno na esfera científica. E com o aprofundamento da pesquisa chegamos a esse achado:
Gil (2008) desenvolveu uma pesquisa com o objetivo de compreender as dificuldades que os alunos possuem na aprendizagem da Álgebra, tendo em vista as inquietações que tais dificuldades lhe causavam desde seus primeiros anos de docência. Após realizar revisão da literatura, aplicar testes, entrevistar alunos e professores da 7ª série (atual 8º ano) do Ensino Fundamental, destacou que na resolução de um problema envolvendo equações de 1º grau, o aluno necessitou fazer a “tradução” da linguagem corrente para a linguagem algébrica e, segundo a autora, as dificuldades nessa tradução residiram na interpretação da questão. [Destaque nosso] (Ibda.)
Com a leitura dessa maravilhosa produção elaborada pelos matemáticos Édrei Henrique Lourenço e Paulo César Oliveira de São Carlos-SP, podemos recompor o trabalho realizado pelos eminentes colegas. Enquanto isso, vale ressaltar que esses autores têm a preocupação de nos lembrar algumas diferenciações sobre o uso de signos, posto bastante relevantes para o experimento aqui analisado, senão vejamos:
Segundo Duval (2009, p.32), a especificidade das representações semióticas “consiste em serem relativas a um sistema particular de signos, a linguagem, a escritura algébrica ou os gráficos cartesianos, e em poderem ser convertidas em representações ‘equivalentes’ em um outro sistema semiótico”.
No contexto geral da semiótica o signo é relacionado a um objeto concreto, como o desenho de uma cadeira para representar o objeto que utilizamos para sentar, porém na especificidade da matemática o símbolo (signo) representa um objeto abstrato por meio da ação do sujeito do conhecimento (significante ou conceito). De fato, o objeto matemático não é perceptível, ou seja, é abstrato; assim, seu acesso se dá via representações semióticas. [Destaque nosso] (Ibda.)
Então a questão que trará o desconforto para o aluno é a transformação do objeto real num objeto abstrato e assim perder o liame com a realidade. Essa dualidade (objeto versus representação) resplandece em confundir, como os autores logo relatam:
A matemática utiliza uma grande variedade de representações semióticas e, dada essa multiplicidade de registros de representação, Duval (2009) enfatiza a necessidade de não confundir o objeto matemático com sua representação trazendo à baila a questão da dualidade entre o objeto e sua representação. A esse respeito ele expõe que “não se pode ter compreensão em matemática, se nós não distinguimos um objeto de sua representação” (DUVAL, 2009, p.14). Isso se justifica no fato de que diferentes representações podem estar associadas ao mesmo objeto matemático. [Destaque nosso] (Ibda.)
Dada essa asseveração, os referidos autores nos levam ao experimento, quando induzem: “dado um problema envolvendo equação do primeiro grau em língua natural podemos convertê-lo para uma equação que seja referencialmente equivalente a ele e vice-versa”.
Congruência Semântica
Para Durval, no relato de Flores et Moretti, a Congruência Semântica revelou-se da seguinte forma:
A noção de congruência semântica surgiu após experiências realizadas com alunos, quando Duval (1988b) observou que estes encontram dificuldades quando se trata de mudar de registro, quer dizer, passar de um registro de representação a outro. Isso foi analisado num estudo, sobre o ensino e a aprendizagem de funções, onde observou que a passagem do registro de representação gráfica para o registro de representação simbólica é tarefa difícil para grande maioria dos alunos. O que acontece, na verdade, é que a compreensão do aluno fica limitada à forma de representação que eles conhecem e que sabem operar. [Destaque nosso] (FLORES; MORETTI, 2008)
Posto isso se torna evidente que a multiplicidade de representação é de extrema importância para gerar proficiência matemática nos alunos, obviamente mantida a congruência semântica em todas as transformações.
Na perspectiva de uma melhor contemplação do custo cognitivo causado pela transformação representação-signo (objeto matemático), que deve ser congruente, qual seja, a representação final transparecer na representação de partida, vamos seguir na trilha de Lourenço et Oliveira (2018), transladando os passos desse processo de alto custo cognitivo.
Então se toma que Duval “elenca três critérios para determinar a congruência semântica envolvida em uma transformação do tipo conversão” (LOURENÇO; OLIVEIRA, 2018, p. 87) in verbis:
- correspondência “semântica” dos elementos significantes;
- univocidade “semântica” terminal;
- ordem dentro da organização das unidades compondo cada uma das duas representações.
Decididamente, o grande ganho do sistema desenvolvido por Durval, seja a desenvoltura da análise e verificação da presença dos 3 critérios estabelecidos, posto que produz no aluno uma atividade analítica e de precisão na comparação entre os dois sistemas (objeto abstrato – representação), o que naturalmente pode oferecer maior grau de tranquilidade ao aluno nos seus devaneios de modelagem matemática, garantida a equivalência referencial.
Entretanto, a Congruência Semântica é bem mais complexa e abrangente do que os exemplos aqui apresentados. Nesse mister, vale lembrar a visão de Flores & Moretti, que assim se expressa:
Por outro lado, a atividade matemática é pautada pela diversidade de representações semióticas, podendo um mesmo objeto matemático contar com diferentes registros, o que implica na possibilidade de se aplicar tratamentos diversos. Analisar, então, aquilo que é mais ou menos congruente entre estes registros e tratamentos, significa possibilitar uma maior visão da atividade matemática, permitindo a escolha de registros e de tratamentos que são mais convenientes frente à resolução de problemas. [Destaque nosso] (FLORES; MORETTI, 2008, p. 38-39)
Essa diversidade de representações semióticas também oportuna ao matemático o uso de uma enorme variedade de ferramentas matemáticas para análise do mesmo objeto ou situação, garantindo um trabalho de grande precisão, proficiência e excelência.
Referências Bibliográficas
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Parte superior do formulário
[1] Many definitions of language have been proposed. Henry Sweet, an English phonetician and language scholar, stated: “Language is the expression of ideas by means of speech-sounds combined into words. Words are combined into sentences, this combination answering to that of ideas into thoughts. “The American linguists Bernard Bloch and George L. Trager formulated the following definition: “A language is a system of arbitrary vocal symbols by means of which a social group cooperates.” Any succinct definition of language makes a number of presuppositions and begs a number of questions. The first, for example, puts excessive weight on “thought,” and the second uses “arbitrary” in a specialized, though legitimate, way.
[2] Mathematical realism is the doctrine that mathematical objects really exist, that mathematical statements are either determinately true or determinately false, and that the accepted mathematical axioms are predominantly true. A realist understanding of set theory has in that when the sentences of the language of set theory are understood in their standard meaning (so that ‘∈’ stands for the element hood relation and the quantifiers range over all the sets there are), each sentence has a determinate truth value, so that there is a fact of the matter whether the cardinality of the continuum is À2 or whether there are measurable cardinals, whether or not those facts are knowable by us.
[3] The role of language in mathematics learning is a critical topic, and it is usually dealt with from a variety of theoretical perspectives. A controversial issue is the relationships between communication processes and the development of thinking. In the opinion of some researchers thinking and communication are closely linked, whereas others regard them as quite independent processes.
[4] The language of mathematics itself is interpreted from a variety of perspectives. In the opinion of a good share of mathematicians the specific features of mathematical language chiefly reside in mathematical formalism. On the other hand, verbal language is widely used in mathematical activities (including research), and language-related troubles are not confined to the symbolic component at all.
[5] I presume that most mathematics educators, no matter the theoretical frame they adopt, would agree that linguistic problems may undermine any further intervention, for students might misunderstand what they are told or they read, or be unable to express what they mean. It should be widely acknowledged too that this issue grows even more important if groups of language minority students are involved.
[6] Moreover, if one assumes too that “learning mathematics may now be defined as an initiation to mathematical discourse, …”, and languages are regarded not as carriers of pre-existing meanings, but as builders of the meanings themselves, then the linguistic means adopted in communicating mathematics are crucial also in the development of mathematical thinking. So, poor linguistic resources would produce poor development of thinking.
[7] A few weeks after his father’s death, Galois presented himself for examination for entry to the École Polytechnique for the second time. For the second time he failed, perhaps partly because he took it under the worst possible circumstances so soon after his father’s death, partly because he was never good at communicating his deep mathematical ideas.
[8] Back at Louis-le-Grand, Galois enrolled in the mathematics class of Louis Richard. However he worked more and more on his own researches and less and less on his schoolwork. He studied Legendre’s Géométrie and the treatises of Lagrange. As Richard was to report
This student works only in the highest realms of mathematics.
[9] He passed, receiving his degree on 29 December 1829. His examiner in mathematics reported:
This pupil is sometimes obscure in expressing his ideas, but he is intelligent and shows a remarkable spirit of research.
[10] Language and communication in mathematics education: an overview of research in the field.
[11] We identify four broad areas of concern in mathematics education that are addressed by language-oriented research: analysis of the development of students’ mathematical knowledge; understanding the shaping of mathematical activity; understanding processes of teaching and learning in relation to other social interactions; and multilingual contexts. A further area of concern that has not yet received substantial attention within mathematics education research is the development of the linguistic competencies and knowledge required for participation in mathematical practices.
[12] Logische Syntax der Sprache.
[13] Die Bezeichnung ‚Wissenschaftslogik‘ wollen wir in einem recht weiten Sinn verstehen. Es soll damit das Gebiet aller der Fragen gemeint sein, die man etwa als reine und angewandte Logik, als logische Analyse der einzelnen Wissenschaftsgebiete oder der Wissenschaft im Ganzen, als Erkenntnistheorie, als Grundlagenprobleme oder ähnlich zu bezeichnen pflegt.
[14] Überwindung der Metaphysik durch logische Analyse der Sprache [Tradução por William Steinle, disponível em: https://www.revistas.usp.br/filosofiaalema/article/download/123996/120161]
[15] Das Ergebnis unserer Überlegungen sei kurz zusammengefaβt. „a” sei irgendein Wort und „S(a)” der Elementarsatz, in dem es auftritt. Die hinreichende und notwendige Bedingung dafür, daβ „a” eine Bedeutung hat, kann dann in jeder der folgenden Formulierungen angegeben werden, die im Grunde dasselbe besagen:
1. Die empirischen Kennzeichen für „a” sind bekannt.
2. Es steht fest, aus was für Protokollsätzen „S(a)” abgeleitet werden kann.
3. Die Wahrheitsbedingungen für „S(a)” liegen fest.
4. Der Weg zur Verifikation von „S(a)“ ist bekannt1. [Tradução por William Steinle, disponível em: https://www.revistas.usp.br/filosofiaalema/article/download/123996/120161]
[16] Talvez Carnap desconheça que a maioria dos matemáticos defende a desnecessidade do processo empírico para a construção e verificação de entes, conceitos e axiomas da Matemática.
[17] Sigla de Sintaxe Lógica da Linguagem.
[18] Second, it seems essential to distinguish between linguistic meaning (in the linguistic faculty, presumably) and cognitive meaning (presumably in the cognitive faculty), as if there are two “semantic” strata. We could avoid that dichotomy if we spoke of a gradient between the two, which is more accurate in one respect (see Chapter 3, §2.4 on areas of meaning), but complex senses commonly combine cognitive and linguistic elements.
[19] “Semantic” can then mean “to do with significance in language”. Significance in language is whatever its signs evoke in hearers and readers in accordance with the language’s grammatical system; that excludes idiosyncratic hearer interpretations, and (of course) any “meaning” the speaker intends but does not realise in signs. As to “meaning”, it seems better to extend its meaning to that of significance than to restrict it to the varying and ill-defined narrower senses it has had in the past.
[20] Different kinds of semantic structure occur because, as noted in the general principles (Chapter 1, §5), language serves different functions (which in many cases need different structures), and because language changes readily enough to develop new structures.
It is not assumed that all languages have the structures discussed in this chapter. In particular, it seems to me that some languages do not have group structure, and I expect that some do not have a linguistic structure above that of the clause, and the linguistic structure may be only that of words in an utterance. That would entail limitation of the semantic structure, as well as limitation of the syntactic structure.
[21] Semantics is the study of meaning in language.
[…]
It may seem to you that meaning is so vague, insubstantial, and elusive that it is impossible to come to any clear, concrete, or tangible conclusions about it. We hope to convince you that by careful thought about the language you speak and the way it is used, definite conclusions can be arrived at concerning meaning.
[22] All the things said in this conversation are meaningful in one way or another. But one must not equate meaningfulness with informativeness in a narrow sense. While it is true that many sentences do carry information in a straightforward way, it is also true that many sentences are used by speakers not to give information at all, but to keep the social wheels turning smoothly.
Thus A and B’s uninformative exchange about the weather serves to reassure them both that a friendly courteous relationship exists between them. Even when the sentences produced are in fact informative, as when B tells A about his forthcoming trip to France, the hearer often has no specific need for the information given. The giving of information is itself an act of courtesy, performed to strengthen social relationships. This is also part of communication.
[23] Como consequência de ser enunciado na direção de um interlocutor, e de ter mesmo sido produzido, todo conhecimento é verdadeiro. Isto não quer dizer que aquilo que é afirmado seja “verdade”.
[24] Departamento de Matemática e Informática, da Universidade Livre de Berlim [Tradução nossa].
[25] 1.3 Semantic Equivalence and Normal Forms
Throughout this chapter w will always denote a propositional valuation. Formulas α, β are called (logically or semantically) equivalent, and we write α ≡ β, when wα = wβ for all valuations w. For example α ≡ ¬ ¬α. Obviously, α ≡ β if for any n such that α, β ∈ ℱn, both formulas represent the same n-ary Boolean function. It follows that at most formulas in ℱn can be pairwise inequivalent, since there are no more than most
n-ary Boolean functions.
[26] Referencial estipulado por comum acordo e circunstancial (Contingente), por pressuposição (a priori) e específico para uma determinada coisa ou situação (de re), admitido internacionalmente ou por grupo de pesquisadores ou especialistas.
Acelino Pontes
Formação Profissional: Bancário/contabilista (Banco do Nordeste do Brasil S.A. – Curso de Aprendizagem Bancária – CAB, Fortaleza-CE), Técnico em Rádio, Televisão e Eletrônica (Instituto Monitor, São Paulo).
Formação Acadêmica: Medicina (Fortaleza-CE, Berlim/Alemanha, Munique/Alemanha, Lisboa e Colônia/Alemanha), Filosofia (Munique/Alemanha, Colônia/Alemanha e Fortaleza-CE), Psicologia (Colônia/Alemanha), Direito (Fortaleza-CE) e Matemática (Fortaleza-CE).
Formação Coadjuvante: Biologia (Colônia/Alemanha), Sociologia (Colônia/Alemanha), Física (Colônia e Munique/Alemanha), Química (Colônia e Munique/Alemanha), Teologia (Fortaleza-CE e Colônia/Alemanha) e Medicina Veterinária (Munique/Alemanha).
Especializações
Medicina: Medicina Interna, Psicossomática, Hipnose Médica, Treino Autógeno e Informática Médica (Alemanha).
Psicologia: Psicanálise, Psicoterapia, Sexologia e Terapia Comportamental (Alemanha).
Filosofia: Filosofia da Matemática (UECE) e Filosofia do Direito (UECE).
Pós-Graduação: Curso de Doutorado em Neurologia (Pesquisa Cerebral), Max-Planck-Institut für Hirnforschung, Colônia/Alemanha, Curso de Doutorado em Medicina Interna/Psicossomática, Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn (Bonn/Alemanha), Curso de Doutorado em Filosofia, Universität zu Köln (Colônia/Alemanha).