Séries de Fourier

– uma aplicação da trigonometria na engenharia de telecomunicações

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Informações: acm@acm-itea.org

Este trabalho trata-se de uma revisão do artigo “SÉRIES DE FOURIER – Uma aplicação da trigonometria na engenharia de telecomunicações”, apresentado ao Laboratório de Ensino da Matemática (LEM) da UNICAMP, em 2020, pela Prof. Dra. Maria Zoraide M. C. Soares.

Tem como proposta apresentar a utilização na área de engenharia, do conceito desenvolvido pelo matemático Fourier no início do século 19: as chamadas Séries de Fourier.

Dentre os objetivos deste, pode-se destacar a utilização das Séries de Fourier para transformação de funções no “domínio do tempo” para o “domínio da frequência”, e suas aplicações. Exemplos sobre modulação de sinais são mostrados como exemplo da utilização desta ferramenta na área de Telecomunicações.

Séries de Fourier: Uma Jornada Histórica e Matemática

Introdução

As Séries de Fourier são um dos pilares fundamentais da análise matemática e desempenham um papel crucial na descrição e análise de fenômenos periódicos. Elas têm sua origem nos estudos do matemático francês Jean-Baptiste Joseph Fourier no início do século XIX e têm sido amplamente aplicadas em diversas áreas da ciência e engenharia. Neste texto, exploraremos os aspectos históricos das Séries de Fourier, apresentando os principais autores, suas obras e as personalidades envolvidas no desenvolvimento dessa importante teoria.

1. O Surgimento das Séries de Fourier

No início do século XIX, Jean-Baptiste Joseph Fourier dedicou-se a estudar a propagação de calor em corpos sólidos. Em sua obra “Théorie analytique de la chaleur” (Teoria Analítica do Calor), publicada em 1822, Fourier apresentou pela primeira vez as chamadas Séries Trigonométricas de Fourier, estabelecendo as bases da análise harmônica. Em seu trabalho, Fourier demonstrou que funções periódicas podem ser decompostas em uma soma infinita de senos e cossenos. Ele afirmou: “Toda função periódica, razoavelmente comportada, pode ser expressa como uma série infinita de senos e cossenos”.

2. As Contribuições de Dirichlet e Riemann

Posteriormente, o matemático alemão Peter Gustav Lejeune Dirichlet aprimorou os resultados de Fourier ao desenvolver as chamadas Séries de Fourier generalizadas. Em seu trabalho “Sur la convergence des séries trigonométriques” (Sobre a Convergência das Séries Trigonométricas), publicado em 1829, Dirichlet estabeleceu as condições de convergência das Séries de Fourier e mostrou que elas convergem para a função original quando as condições adequadas são satisfeitas. Ele afirmou: “As séries de Fourier podem ser corretamente somadas em qualquer ponto da circunferência unitária, desde que a função seja contínua”.
Além disso, o matemático alemão Bernhard Riemann introduziu importantes avanços na teoria das Séries de Fourier ao estabelecer as condições para a existência de derivadas de ordem superior. Em seu trabalho “Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe” (Sobre a Representação de uma Função por uma Série Trigonométrica), publicado em 1854, Riemann demonstrou que, sob certas condições, é possível derivar termo a termo as Séries de Fourier. Ele afirmou: “Uma função contínua pode ser representada por uma série de Fourier, cujos coeficientes podem ser diferenciados termo a termo”.

3. Desenvolvimentos Modernos e Aplicações

Ao longo do século XX, as Séries de Fourier foram aprimoradas e tiveram suas aplicações expandidas. A teoria foi refinada por grandes matemáticos como Norbert Wiener, que estabeleceu as bases da análise de sinais e comunicações, e Jean-Pierre Kahane, que explorou as propriedades das Séries de Fourier em espaços de funções não periódicas.
As Séries de Fourier têm uma vasta gama de aplicações em diferentes campos da ciência e engenharia, incluindo processamento de sinais, telecomunicações, física matemática e teoria das ondas. Elas desempenham um papel fundamental na análise de fenômenos periódicos, como o estudo de ondas sonoras, vibrações mecânicas, propagação de sinais em circuitos eletrônicos e muito mais.

4. Contribuições Contemporâneas e Livros de Referência

Atualmente, a teoria das Séries de Fourier continua a ser objeto de estudo e desenvolvimento. Diversos matemáticos contemporâneos têm contribuído para a ampliação do conhecimento nessa área. Destacam-se os trabalhos de Yves Meyer, que recebeu a Medalha Fields em 2017 por suas contribuições à teoria de ondeletas (wavelets) e suas aplicações em análise harmônica, e Terence Tao, que fez avanços significativos na teoria das Séries de Fourier e análise harmônica moderna.
Para aqueles interessados em aprofundar seus conhecimentos sobre Séries de Fourier, alguns livros de referência recomendados incluem: “Fourier Series and Boundary Value Problems” de James Ward Brown e Ruel V. Churchill, “A First Course in Fourier Analysis” de David W. Kammler e “Introduction to Fourier Analysis and Wavelets” de Mark A. Pinsky.

Referências bibliográficas

• Fourier, J. B. J. (1822). Théorie analytique de la chaleur.
• Dirichlet, P. G. L. (1829). Sur la convergence des séries trigonométriques.
• Riemann, B. (1854). Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe.
• Brown, J. W., & Churchill, R. V. (1993). Fourier Series and Boundary Value Problems.
• Kammler, D. W. (2008). A First Course in Fourier Analysis.
• Pinsky, M. A. (2002). Introduction to Fourier Analysis and Wavelets.

Nota: Parte do texto foi produzida em sinergia com IA.

João Manoel Rocha Zaninotto

Engenheiro Elétrico/Eletrônico, MSc

e-mail: jmzani@gmail.com / joao.zaninotto@inpe.br

CV Lattes: http://lattes.cnpq.br/5689881004757062

LinkedIn: https://br.linkedin.com/in/joao-manoel-zaninotto-3014994

• ESCOLARIDADE

• Mestrado – Engenharia e Tecnologia Espaciais – INPE (2023) – S. J. Campos – SP
• Licenciatura em Matemática (EAD): Claretiano (2016) – S. J. Campos – SP
• Engenharia Elétrica/Eletrônica: UNIVAP (1979) – S. J. Campos – SP
• Escola Técnica, curso de Eletrônica: ETEP (1973) – S. J. Campos – SP

• OUTROS CURSOS

• Matérias isoladas – Telecomunicações: ITA – (1981/1987), – S. J. Campos – SP
• Gerenciamento de Negócios Ericsson: ESPM (1998) –  S. J. Campos – SP
• Safety Assessment: EMBRAER (2002) – S. J. Campos – SP
• Princípios de Radar: INPE/BETA TELECOM (2011) – S. J. Campos – SP

• EXPERIÊNCIA PROFISSIONAL
  • Zaninotto Engenharia – S. J. Campos – SP

Pessoa jurídica, participando de contrato entre AEB & CEESP

Engenheiro Senior, de jan.2021 a mar.2023

Principais atividades:

• Gerenciamento de contrato entre CEESP & Orbital Engenharia
• Participação no lançamento do foguete tipo PSM, em Alcântara – MA, out.2022

• INPE – S. J. Campos – SP

De ago.2017 a dez.2018 – Engenheiro (bolsista)

Área de Garantia da Qualidade

• Panair International Inc – São José dos Campos – S. P.

De out.2014 a nov.2015 – Engenheiro (suporte ao cliente)

Área de representações

• Helibras – Itajubá – MG

De janeiro de 2013 a abril de 2014 – Engenheiro de Sistemas

. Integração do Radar de Patrulha Marítima, para o helicóptero EC-725;

. Aceitação do sistema Radar na empresa Telephonics, Huntington (USA);

. Suporte à documentação e treinamento ao cliente.

• Embraer Defesa e Segurança – S. J. Campos – SP

De agosto de 2001 a janeiro de 2013 – Engenheiro de Sistemas

• Programa A-1M

Modernização de avião caça (A-MX) para a Força Aérea Brasileira.

. Instalação dos sistemas Self Protection System (SPS);

. Ensaios de fit-check para definição de instalação de guias de onda e cabos de RF;

. Realização de treinamento nos sistemas RWR e AECM para o cliente (Brasil);

. Definição preliminar do sistema Flight Data Recorder (FDR), caixa-preta da aeronave;

. Instalação e operação do sistema Identification Friend or Foe (IFF);

. Instalação e operação do Radar SCP-01.

• Programa México

Fornecimento de aviões de vigilância para a Força Aérea Mexicana.

. Instalação e operação do Radar Erieye (SAAB). Radar banda “S”, com antena tipo phased    array, instalado em aeronave EMB-145;

. Acompanhamento de ensaios de aceitação do Radar, na SAAB (Suécia);

. Participação em voos de ensaios do sistema Radar, no Brasil e no México;

. Realização de treinamento para o cliente (México).

• Programa SIVAM

Fornecimento de aviões de vigilância para a Força Aérea Brasileira.

. Participação em ensaios em solo e em voo, para testes de desempenho do Radar Erieye, radar  banda “S”, com antena tipo phased array, instalado em aeronave EMB-145;

. Participação em voos de ensaio do Radar Erieye e de interferência eletromagnética.

•  Ericsson Telecomunicações – S. J. Campos – SP

 De dezembro de 1996 a agosto de 1998 – Engenheiro de Testes

. Implantação da linha de produção, instalação da fábrica de telefones celulares;

. Operação de maquinas de teste, produção em alto volume;

. Troubleshooting de máquinas de teste, hardware e software.

. Treinamentos na fábrica da Ericsson, em Lynchburg (USA).

De setembro 1998 a agosto de 2001 – Supervisor

. Supervisão do grupo de engenheiros e técnicos da área de Engenharia de Testes;

. Capacitação da área para os vários aumentos de volumes na produção de telefones celulares;

. Suporte à produção;

. Coordenação de campanhas de calibração dos equipamentos de teste HP;

. Participação nas reuniões técnicas do grupo Ericsson (USA, Suécia,  Inglaterra e Brasil).

• Ford Indústria e Comércio (FIC) – Guarulhos – SP

De outubro de 1994 a dezembro de 1996: Engenheiro de Testes

. Suporte às linhas de produção de produtos automotivos;

. Hardware e software de máquinas de testes de alto volume de produção;

. Treinamento em fábricas da Ford em Portugal e na Inglaterra.

• Tecnasa Eletrônica Profissional – S. J. Campos – SP

De novembro de 1983 a outubro de 1994: Engenheiro de Desenvolvimento

• Equipamentos de Auxilio à Navegação

. Participação no projeto e desenvolvimento de um equipamento de Radio Farol (faixa de MF);

. Desenvolvimento da unidade de geração de sinais de baixa potência;

. Participação no desenvolvimento de um transmissor VHF Omni Range (VOR), para aeroportos;

. Desenvolvimento das unidades de RF (faixa de VHF);

. Desenvolvimento das unidades de controle com microprocessadores e conversores A/D e D/A.

• Radar embarcado (SCP-01)

Atividade realizada na Itália, de 1998 a 1990, trabalho conjunto entre a Tecnasa Eletrônica Profissional e a empresa italiana Segnalamento Marittimo ed Aereo (SMA), para o programa de desenvolvimento do avião A-MX.

. Participação na equipe de desenvolvimento do Processador do Radar;

. Projeto da unidade A/D Converter, front-end do Processador;

. Projeto da unidade Video Conditioning, hardware de alta velocidade e DSPs;

. Desenvolvimento de algoritmos para aplicação em processamento de sinais;

. Elaboração de documentação de projeto;

. Participação em reuniões com fornecedores e com o cliente, Força Aérea Brasileira (FAB);

. Ensaios funcionais do processador.

• Receptor de Satélite

. Participação no desenvolvimento do um Receptor de Satélites para o mercado de consumo;

. Desenvolvimento do software para o Receptor, baseado em microcontroladores;

. Trabalho de campo, instalação de Receptores de Satélite;

. Suporte à Produção.

• Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) – S. J. Campos-SP

De fevereiro de 1982 a novembro de 1983: Engenheiro de Desenvolvimento

. Coordenação de Laboratório de Geofísica do INPE;

. Desenvolvimento de um sistema de Aquisição de Dados para aplicação em Geofísica;

. Desenvolvimento de sensores de campo elétrico e campo magnético;

. Trabalho de campo, em São José dos Campos-SP e Cachoeira Paulista – SP.

• Instituto de Atividades Espaciais (IAE-DCTA) – S. J. Campos-SP

De fevereiro de 1974 a dezembro de 1979 – Técnico em Eletrônica

. Montagem e testes de circuitos e sensores, para aplicação nas plataformas das séries Sonda II e Sonda III;

. Participação no projeto, integração e ensaios de magnetômetro desenvolvido no IAE;

. Participação na integração e lançamentos de plataformas da série Sonda II (Natal_RN).

De janeiro de 1980 a fevereiro de 1982 – Engenheiro Eletrônico

. Coordenação de grupo técnico, laboratório de sensores magnéticos;

. Participação no desenvolvimento de experimento embarcado, para medida de parâmetros da Ionosfera, para plataforma da série Sonda III;

. Desenvolvimento de circuito digital para malha de controle da plataforma da série Sonda III.

• EXPERIÊNCIA NO MAGISTÉRIO
• Escola Técnica Prof. Everardo Passos (ETEP) – S. J. Campos-SP

De 1992 a 1994 – Centro de Desenvolvimento de Tecnologia e Recursos Humanos

Matérias: Circuitos Elétricos & Dispositivos Eletrônicos

2013 – CETEC Educacional

Matérias: Circuitos Elétricos & Desenho Elétrico

• Instituto Tecnológico de Jacareí (ITJ) – Jacareí-SP

De 1980 a 1981 – Sociedade Educacional de Jacareí

Matéria: Circuitos Elétricos

• Escola Técnica – UNIVAP – S. J. Campos-SP

1974 – Fundação Valeparaibana de Ensino

Matéria: Laboratório de Física

• CONHECIMENTO DE LINGUAS ESTRANGEIRAS

• Inglês
• Italiano
• Espanhol
• Francês

• OUTRAS ATIVIDADES (voluntário)

• Participação na Comissão de Estudos ABNT/CB08, INPE, S. J. Campos – SP – desde 2007
• Professor de inglês, Associação Brasil Esporte e Educação (ABREED) – S. J. Campos – SP – 2012

• HOBBIES

• Tênis de mesa
• Caminhada
• Leitura

Comentários

Aula foi muito interessante (Abel do Rosario Sarmento)

Palestra excelente e rica em detalhes. (Adeilton Menezes de Oliveira)

Momento de aplicação, porém se encaixa perfeitamente nas novas tecnologias que não são novas ou seja, são melhoradas (Aguinaldo Antônio Rodrigues)

Eu gostei muito da palestra, pois pude saber um pouco sobre Fourier. (Ana Clara Seixas Dourado )

Excelente….  (Anderson Gonçalves de Oliveira )

A palestra foi sensacional, didática e de bom entendimento.  Parabéns.  (Anderson Luiz Lunardelli )

A origem do am e fm. (Audrey Stephanne De Oliveira Gomes )

Excelente palestra! Muito Bom!! (Denilson Esteves Gomes)

OBRIGADO! (Eduardo Medeiros de Moura)

Muito boa palestra (Erick Lucas Correia Cordeiro )

Parabéns pelo tema e palestra! (Flávio Maximiano da Silva Rocha)

Excelente palestra! Parabéns, professor! (Francisca Maria Mendes de Souza Macedo)

Maravilhoso (Francisco Gomes Martins)

A série Fourier espelhando a realidade através do som musical e a geração da discussão e o aprimoramento do conhecimento. Um momento especial proporcionado pelo palestrante. (Francisco Isidro Pereira)

Excelente palestra! Muito grato aos envolvidos.  (Francisco Lucas do Nascimento Lopes )

OBRIGADA! Pelo curso de curta duração bem explanado. (Gilvana Bezerra De Sousa)

Ótimo  (Heitor Bastos da Silva Souza )

Ótima palestra.  (Ianne Silva Teixeira )

Excelente tema e apresentação. (Ivanildo da Cunha Ximenes)

Maravilhosa a Palestra (Jefte Dodth Telles Monteiro)

Uma das melhores palestras que já assisti da ACM (João Luís Gomes Guimarães)

Ótima palestra. (José Jânio Ferreira dos Santos )

Palestra interessante. (José Trobia)

Após uma queda de energia não conseguir entrar novamente mas foi ótima  (Kauan Felipe De Oliveira Silva )

Ótima apresentação. Obrigada pela oportunidade de participar.  (Lisiane May )

Muito obrigado (Lucas Freitas de Aguiar)

Muito importante a palestra sobre a relação da Série de Fourier com mais outro contexto que utilizamos. (Lucia dos Santos Bezerra de Farias)

Belíssima apresentação, o professor João Manuel está de parabéns.   (Maria Aparecida de Medeiros Garcia Sousa)

amei! (Mariana Machado Pires)

Excelente palestra! Aborda diversos assuntos com precisão. (Marlon Alerrandro Vieira Amorim)

Ótima palestra. (Matheus Henrique Pereira)

Muito boa a apresentação. (Maximiliano Bevilaqua Esper)

Matemática, Contextos e Aplicações! Excelente Palestra! Parabéns Prof. João! Parabéns ACM! (Maxwell Gonçalves Araújo)

Excelente Palestra!! (Michele Gomes Goncalves Lamas)

Boa Aula (Paul Lee Marques)

Parabéns pela excelente palestra, muito proveitosa. Já no aguardo da próxima. Obrigado! (Paulo Robson Pereira da Cunha)

Muito boa a palestra (Rebeca Barbosa da Silva Pereira )

ótima palestra de motivação para meus alunos nos estudos de Série de Fourier. (Rosane Soares Moreira Viana)

Excelente palestra conjugando Matemática com Engenharia de Telecomunicações, mostrando a interdisciplinaridade.  (Simone Souto da Silva Oliveira)

Excelente palestra ministrada. Meus Parabéns! (Uanderson de Moura Farias )

Excelente apresentação e desenvolvimento da temática.  (Willames Wiclef Alves da Silva)