– independência condicional e as representações de De Finetti
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Dentro da inferência estatística, uma suposição comum sobre uma sequência de observações é que os valores observados advêm de uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas.
Embora essa suposição facilite trabalhar analiticamente com os dados e fazer inferências a partir deles, muitos fenômenos não podem ser bem modelados sob essa suposição de independência. Nesse sentido, a permutabilidade se apresenta como uma condição mais geral, permitindo que as variáveis aleatórias apresentem uma estrutura de dependência estocástica.
O teorema de representação de De Finetti, provado originalmente pelo estatístico italiano Bruno de Finetti, posteriormente estudado por diferentes autores, garante que toda sequência infinitamente permutável pode ser representada como uma sequência de variáveis que são, condicionalmente a uma medida aleatória, independentes e identicamente distribuídas.
Embora o teorema de De Finetti seja tradicionalmente associado às áreas de probabilidade, inferência Bayesiana e fundamentos de estatística, ele também pode ajudar a entender diferentes áreas da estatística, como modelos mistos e inferência causal.
O objetivo deste seminário é introduzir os conceitos de permutabilidade e independência condicional, com foco em seus usos na teoria da probabilidade e na inferência Bayesiana.
Origens da Permutabilidade
A permutabilidade é um conceito que remonta à antiguidade, tendo sido utilizado por matemáticos gregos como Euclides e Arquimedes. No livro IX dos Elementos de Euclides, ele descreve as propriedades dos números primos e compostos, bem como as propriedades da multiplicação e divisão. Ele mostra que a multiplicação é permutável, ou seja, a ordem das operações não afeta o resultado. No livro VII dos Elementos, Euclides também usa a permutabilidade para provar que a adição é comutativa, ou seja, a ordem dos números não afeta o resultado.
Outro matemático grego importante que estudou a permutabilidade foi Aristóteles. Ele descreveu a permutabilidade em seu livro “Sobre a Interpretação”, onde ele explica que “a ordem das palavras não afeta o significado da frase”. Esse princípio é conhecido como o princípio da permutabilidade das palavras de Aristóteles.
Na idade média, o matemático persa al-Khwarizmi escreveu um livro intitulado “Al-Jabr” que é considerado um dos primeiros tratados sobre álgebra. Neste livro, ele introduziu a ideia de que a ordem das operações na álgebra é permutável.
No século XVII, o matemático francês René Descartes introduziu a notação algébrica moderna e mostrou que a permutabilidade é uma propriedade fundamental da álgebra. Ele escreveu em seu livro “La Géométrie” que “a ordem das operações não afeta o resultado” e que a permutabilidade é uma das propriedades fundamentais da álgebra.
Mais recente, um dos importantes matemáticos a trabalhar com a permutabilidade foi Augustin Louis Cauchy, que em 1815 introduziu o conceito de permutação de elementos em uma série.
Outro matemático importante que contribuiu para o desenvolvimento da permutabilidade foi Arthur Cayley, que em 1854 introduziu a ideia de um grupo, que leva as noções modernas de álgebra abstrata. Cayley percebeu que as propriedades que importavam para a teoria dos grupos não dependiam da natureza dos elementos que compunham o grupo, mas sim da forma como eles se combinavam.
Assim, ele generalizou a noção de grupo para incluir qualquer conjunto de elementos com uma operação que satisfaz certas propriedades. Essa generalização permitiu que a álgebra abstrata se expandisse para além dos números e se tornasse uma ferramenta poderosa em muitas áreas da matemática e da ciência, como no caso presente da permutabilidade.
Pensadores
Ao longo da história, muitos matemáticos estudaram a permutabilidade e contribuíram para o desenvolvimento desse conceito. Entre os principais autores e livros que abordam a permutabilidade na matemática, podemos citar:
• Euclides: Elementos
• Aristóteles: Sobre a Interpretação
• al-Khwarizmi: Al-Jabr
• René Descartes: La Géométrie
• Leonhard Euler: Introdução à análise infinitesimal
Além dos autores e livros acima referidos, várias personalidades também contribuíram para a evolução da permutabilidade na matemática. Entre elas, podemos citar:
• Isaac Newton: Em seu livro “Principia Mathematica”, Newton utilizou a permutabilidade para demonstrar as leis do movimento.
• Augustin-Louis Cauchy: Cauchy é considerado um dos fundadores da análise matemática e contribuiu significativamente para o desenvolvimento da teoria dos grupos, onde a permutabilidade é um conceito fundamental.
• George Boole: Boole é conhecido como o criador da álgebra booleana, que utiliza a permutabilidade como uma propriedade fundamental.
• Emmy Noether: Noether foi uma matemática alemã que desenvolveu a teoria da permutabilidade em álgebra abstrata, mostrando a relação entre a permutabilidade e as propriedades dos grupos.
Importância
A permutabilidade é um conceito fundamental em muitas áreas da matemática. Ela permite que os matemáticos realizem operações de forma mais simples e eficiente, sem a necessidade de considerar a ordem das operações. A permutabilidade é usada em álgebra, análise, teoria dos grupos e combinatória, e é um dos princípios básicos da matemática. Como disse Euler, “a permutabilidade é a chave para muitos problemas matemáticos”.
Referências
• Boyer, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 2010.
• Fearnley-Sander, Desmond. Euler’s gem: the polyhedron formula and the birth of topology. Princeton University Press, 2009.
• Katz, Victor J. A history of mathematics: An introduction. Addison Wesley, 2009.
• Stewart, Ian. From here to infinity: a guide to today’s mathematics. Oxford University Press, 1996.
Nota: Parte do texto foi produzida em sinergia com IA.
Vinícius Litvinoff Justus
Graduado em estatística pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Entre outubro de 2021 e setembro de 2022, desenvolveu iniciação científica sob orientação da professora V. A. González-López, o que já resultou na publicação de um artigo (em periódico internacional) sobre independência condicional e teoria das cópulas.
Durante dois anos, fez iniciação científica por meio do PICME, programa de iniciação científica voltado para medalhistas da OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas).
Possui interesse por diversas áreas da probabilidade e da estatística, em particular por: fundamentos de estatística; dependência estocástica; inferência causal para dados observacionais e equações estruturais; inferência estatística (Bayesiana e frequentista).
Educação
Em progresso: Mestrado em estatística; Universidade Estadual de Campinas (2023 – atual).
Concluído: Graduação em estatística; Universidade Estadual de Campinas (2019 – 2022).
Apresentações e publicações
Artigos:
González-López VA & Litvinoff Justus V 2023. A method for the elicitation of copulas.
González-López VA & Litvinoff Justus V 2022. Conditional independence and predictive copula.
Resumos e apresentações:
Litvinoff Justus V & González-López 2022. As Representações de De Finetti. XXX Congresso de Iniciação Científica da Unicamp.
Litvinoff Justus V & González-López 2022. Correlation Structure in Exchangeable Sequences. 16th Brazilian Meeting of Bayesian Statistics and VI Latin American Conference on Statistical Computing.
Prêmios
Medalha de bronze na Olímpiada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, OBMEP (2014);
Medalha de bronze na Olímpiada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, OBMEP (2013).
Comentários
Aula excelente!! (Andresson Batista Jacinto de Lima )
A probabilidade sempre presente na matemática. (Audrey Stephanne De Oliveira Gomes )
Excelente palestra. (Davidson Estanislau de Gois Lima)
Parabéns professor (Edvaldo do Nascimento Silva )
Parabéns Prof. Vinícius pela excelente palestra e troca de experiências! (Flávio Maximiano da Silva Rocha)
Gostei muito (Francisco Danilo Sousa Domingos)
Maravilha (Francisco Gomes Martins)
Gostaria de agradecer pela oportunidade muito edificante de participar desse evento. Os projetos de pesquisa são muito ricos e altamente pertinente de notoriedade. Parabéns aos palestrantes e ao núcleo gestor do evento (Francisco Lucas do Nascimento Lopes )
Excelente palestra! (Francisco Silverio da Silva Junior)
Bom, muito bom (Gabriel Cavalcante de Carvalho )
Excelente apresentação, sucesso… (Ivanildo da Cunha Ximenes)
Gostaria de agradecer pela oportunidade (Jefte Dodth Telles Monteiro)
Impressionante essa palestra. (José Jânio Ferreira dos Santos )
Muito obrigado (Lucas Freitas de Aguiar)
Apesar do assunto muito específico palestra muito boa (Lucia dos Santos Bezerra de Farias)
Ótima palestra.. (Luciene Felix Rebelo )
Excelente (Luiz Felipe Araújo Azevedo )
Ótima palestra!!! (Marcos Cirineu Aguiar Siqueira)
Parabéns pela excelente apresentação. (Maria José da Silva )
Excelente palestra. Parabéns para o palestrante. (Maria Luiza da Silva Chamarelli Santos )
Gostei do assunto abordado sobre a estatística Bayesiana. (Maximiliano Bevilaqua Esper )
Excelente palestra ! (Tatiana Duarte de Brito)