Mecânica Quântica

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No desenvolvimento da Mecânica Quântica, observamos que desde a proposta de um comportamento corpuscular da luz (começando pelos trabalhos de Max Planck em 1900) e da proposta de um comportamento ondulatório de partículas (inicialmente proposto por de Broglie, em 1923), passa-se praticamente um quarto de século. Em 1926, temos a formulação ondulatória da Mecânica Quântica, dada por Erwin Schrödinger em 1926, pela conhecida equação diferencial parcial denominada Equação de Schrödinger. Apenas em 1926, proposto por Max Born, que tivemos uma interpretação probabilística da função de onda (solução da equação de Schrödinger), relacionando o quadrado da amplitude da função de onda com a densidade de probabilidade relacionada a uma medida (posição da partícula, velocidade, energia, etc.).

Já o desenvolvimento rigoroso da Probabilidade Matemática se completa em 1933, com a monografia de Andrei Kolmogorov, por meio da teoria da medida, ainda assim, demorou algum tempo para que os probabilistas aceitassem, como pode ser observado no artigo de Joseph L. Doob, intitulado “The Development of Rigor in Mathematical Probability (1900-1950)” publicado em 1996.

Ambas as áreas se desenvolveram na mesma época, sendo natural que ainda existem problemas na interseção delas em que possam surgir novas abordagens e interpretações.

Nessa apresentação, observaremos a interpretação probabilista da função de onda, o papel da probabilidade em desigualdades relacionadas a partículas emaranhadas e como podemos usar a probabilidade para modelar experimentos.

1. Evolução Histórica

A relação entre a mecânica quântica e o cálculo de probabilidade remonta às primeiras décadas do século XX. Max Planck, em 1900, introduziu o conceito de quantização da energia, o que levou ao desenvolvimento de um novo paradigma físico (PLANCK, 1900). Esse trabalho abriu caminho para a formulação de princípios probabilísticos na descrição de sistemas quânticos.

Nos anos 1920, a contribuição de Erwin Schrödinger e Werner Heisenberg consolidou o papel das funções de onda e da indeterminação na mecânica quântica (HEISENBERG, 1927). Schrödinger propôs a equação que descreve a evolução das funções de onda, enquanto Heisenberg introduziu o princípio da incerteza, que explicita os limites de precisão na medida de grandezas físicas.

John von Neumann, em 1932, sistematizou a base matemática da mecânica quântica utilizando o formalismo dos espaços de Hilbert. Sua obra “Mathematical Foundations of Quantum Mechanics” estabeleceu conexões claras entre operadores matemáticos e medidas probabilísticas (VON NEUMANN, 1932). Essa abordagem foi fundamental para a interpretação moderna da probabilidade em contextos quânticos.

2. Perspectivas Científicas

A integração do cálculo de probabilidade à mecânica quântica fundamenta-se na ideia de distribuições probabilísticas como representativas da natureza do mundo microscópico. As funções de onda, descritas pelo formalismo de Schrödinger, não fornecem resultados determinísticos, mas sim distribuições de probabilidade associadas a grandezas observáveis (SCHRÖDINGER, 1926).

Essa perspectiva desafia a intuição clássica e gerou debates filosóficos, como o famoso diálogo entre Einstein e Bohr. Albert Einstein argumentava que “Deus não joga dados”, sugerindo que a teoria quântica era incompleta, enquanto Niels Bohr defendia a interpretação de Copenhague, onde a probabilidade é inerente à natureza (BOHR, 1935).

Recentemente, avanços em teoria da informação quântica reforçaram a importância do cálculo de probabilidade na descrição de sistemas quânticos. A computação quântica, por exemplo, utiliza o conceito de superposição probabilística como base para resolver problemas complexos de maneira mais eficiente do que os computadores clássicos (SHOR, 1994).

3. Enfoques Experimentais

As relações entre a mecânica quântica e o cálculo de probabilidade foram amplamente confirmadas por experimentos. O experimento da dupla fenda, realizado por Thomas Young e posteriormente adaptado ao contexto quântico, demonstra o comportamento dual – partícula e onda – dos elétrons, evidenciando a necessidade de descrições probabilísticas (YOUNG, 1804).

Outro marco experimental foi o teste das desigualdades de Bell, conduzido por Alain Aspect na década de 1980. Esses testes confirmaram as previsões quânticas de emaranhamento e rejeitaram teorias de variáveis ocultas locais, consolidando a interpretação probabilística (ASPECT, 1981).

Mais recentemente, experimentos em teletransporte quântico demonstraram a aplicação prática dos princípios probabilísticos. Esses experimentos utilizam estados emaranhados para transferir informações de um local para outro sem transmitir fisicamente as partículas (BENNETT et al., 1993). Esses avanços são cruciais para o desenvolvimento de redes quânticas seguras.

4. Aplicações e Utilidades

A relação entre mecânica quântica e cálculo de probabilidade tem diversas aplicações. Uma delas é na computação quântica, que utiliza qubits em superposição para resolver problemas de maneira mais eficiente (SHOR, 1994). Essa tecnologia está sendo explorada por empresas como IBM e Google para aplicações em criptografia e otimização.

Outra aplicação está na metrologia quântica, que utiliza estados quânticos para medições de precisão sem precedentes. Isso inclui sensores quânticos para detecção de variações gravitacionais e campos magnéticos ultra fracos (CAVES, 1981).

A área de comunicação quântica também se beneficia do formalismo probabilístico. Protocolos como a distribuição de chaves quânticas garantem segurança absoluta contra ataques, aproveitando a incerteza quântica como recurso (BENNETT e BRASSARD, 1984).

5. Exemplos de Projetos e Aplicações

    1. Computação Quântica: Utiliza algoritmos probabilísticos para resolver problemas como fatoração de números grandes e simulação de sistemas químicos (SHOR, 1994).
    2. Sensores Quânticos: Aplicados na detecção de variações ambientais sensíveis, como nas medições de campos gravitacionais (CAVES, 1981).
    3. Criptografia Quântica: Implementação de protocolos seguros baseados na distribuição de chaves quânticas (BENNETT e BRASSARD, 1984).
    4. Teletransporte Quântico: Transferência de informações através de estados emaranhados para aplicações em redes quânticas (BENNETT et al., 1993).
    5. Simulação de Fenômenos Físicos: Utiliza princípios probabilísticos para estudar interações em escalas atômicas e subatômicas (FEYNMAN, 1982).

    Referências Bibliográficas

    • ASPECT, Alain. Experimental tests of Bell’s inequalities using time-varying analyzers. Physical Review Letters, v. 49, n. 25, p. 1804–1807, 1981.
    • BENNETT, C. H.; BRASSARD, G. Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing. Theoretical Computer Science, p. 175–185, 1984.
    • BENNETT, C. H. et al. Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels. Physical Review Letters, v. 70, n. 13, p. 1895–1899, 1993.
    • BOHR, Niels. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? Physical Review, v. 48, n. 8, p. 696–702, 1935.
    • CAVES, Carlton M. Quantum-mechanical noise in an interferometer. Physical Review D, v. 23, n. 8, p. 1693–1708, 1981.
    • FEYNMAN, Richard P. Simulating physics with computers. International Journal of Theoretical Physics, v. 21, n. 6/7, p. 467–488, 1982.
    • HEISENBERG, Werner. Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. Zeitschrift für Physik, v. 43, n. 3/4, p. 172–198, 1927.
    • PLANCK, Max. Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum. Annalen der Physik, v. 4, n. 553, p. 1–52, 1900.
    • PONTES, Acelino. Prolegômenos à Nova Matemática. Fortaleza: Scientia Publishers, 2023. 232 p.
    • SCHRÖDINGER, Erwin. Quantisierung als Eigenwertproblem. Annalen der Physik, v. 384, n. 4, p. 361–376, 1926.
    • SHOR, Peter W. Algorithms for quantum computation: Discrete logarithms and factoring. Proceedings of the 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, p. 124–134, 1994.
    • VON NEUMANN, John. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Princeton: Princeton University Press, 1932.
    • YOUNG, Thomas. The Bakerian Lecture: Experiments and calculations relative to physical optics. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, v. 94, p. 1–16, 1804.

    Nota: Parte do texto foi produzida em sinergia com IA.

    Felipe Andrade Velozo

    Possui graduação em Ciência da Computação pela Universidade Federal de Lavras (2008), mestrado em Estatística e Experimentação Agropecuária pela Universidade Federal de Lavras (2011) e doutorado em Estatística e Experimentação Agropecuária pela Universidade Federal de Lavras (2016).

    Tem experiência na área de Probabilidade e Estatística, com ênfase em Teoria Geral e Fundamentos da Probabilidade, atuando principalmente nos seguintes temas: axiomas de Kolmogorov, violação da desigualdade de CHSH, violação da desigualdade de Bell, interpretação estatística da Mecânica Quântica.

    Atualmente é professor de Matemática da Universidade Federal de Alfenas no Campus Varginha, atuando nos cursos de Bacharelado Interdisciplinar em Ciência e Economia, Bacharelado em Ciência Contábeis, Bacharelado em Ciência Econômicas, Bacharelado em Ciências Atuariais e no Bacharelado em Administração Pública, além do curso de Pós-Graduação Lato Sensu em Modelagem em Ciência e Tecnologia.

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