História sobre a Tractriz

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Informações: acm@acm-itea.org

A presente palestra terá início com um breve panorama histórico acerca do estudo das curvas ao longo do século XVII. Serão apresentados os conceitos de curvas geométricas e não geométricas, abordando-se as diferenças conceituais dessas ao longo dos anos e as dificuldades enfrentadas pelos matemáticos da época ao lidarem com curvas transcendentais, especialmente em função da ausência de uma simbologia adequada para representá-las.

Na sequência, serão discutidos os chamados problemas da tangente inversa, sua estreita relação com o desenvolvimento do cálculo infinitesimal, bem como a persistência de métodos geométricos utilizados por alguns geômetras, a exemplo de Christiaan Huygens (1629-1695), que demonstrava preferência por abordagens de natureza construtiva e visual.

A exposição prosseguirá com a análise de propriedades da Tractriz, tal como tratadas por Huygens, em uma de suas correspondências endereçadas a H. Basnage de Beauval (1656-1710). Dentre essas propriedades, destacam-se: a possibilidade de mensuração do comprimento da curva utilizando a própria Tractriz e procedimentos geométricos; a proporcionalidade existente entre tal comprimento e segmentos determinados sobre o eixo das ordenadas; e, por fim, a aplicação da Tractriz no cálculo de áreas delimitadas por uma hipérbole.

A palestra será concluída com uma reflexão sobre a predominância do pensamento geométrico entre alguns matemáticos europeus do período, mesmo diante do crescente interesse por abordagens algébricas e pela introdução do cálculo infinitesimal como ferramenta analítica.


1. Evolução Histórica da Tractriz

A Tractriz, também conhecida como curva de perseguição, tem suas origens no século XVII. Ela foi primeiramente descrita por Claude Perrault em 1670, em um contexto de estudos sobre mecânica e movimento (BOYER, 1991). Poucos anos depois, Christiaan Huygens explorou suas propriedades geométricas, dando impulso ao interesse da comunidade matemática. A curva também apareceu nas investigações de Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton, que procuravam relações entre movimento e geometria.

Com o advento do cálculo diferencial, a Tractriz ganhou um novo patamar de análise. Leibniz e Johann Bernoulli a estudaram como exemplo paradigmático de curva gerada por condições dinâmicas (BOYER, 1991). Já no século XVIII, os estudos sobre catenárias e linhas de força a colocaram em evidência nos trabalhos de Euler. Posteriormente, no século XIX, foi incorporada ao arcabouço das curvas transcendentais estudadas pela escola alemã de matemática (GRAY, 2008).

Durante o século XX, a Tractriz voltou à cena com o surgimento da matemática aplicada e da modelagem. Ela apareceu em estudos sobre cabos de navios rebocados e em modelos biomecânicos de tendões (THOMAS & FINNEY, 2005). A digitalização de curvas e seu uso em design também ampliaram seu papel no ensino e na engenharia. Assim, sua evolução reflete a intersecção contínua entre intuição geométrica, ferramentas matemáticas e aplicação prática.

2. Perspectivas Científicas sobre a Tractriz


Do ponto de vista matemático, a Tractriz é definida como a curva traçada por um ponto sendo puxado por outro ao longo de uma linha reta, com uma corda de comprimento constante. Sua equação diferencial é dada por

sendo a o comprimento da corda (COURANT & ROBBINS, 1996). Esse modelo permite uma visualização rica do conceito de função implícita e de soluções de equações diferenciais ordinárias. A curva também é importante para ilustrar fenômenos assintóticos, pois ela se aproxima do eixo x sem nunca tocá-lo.

Na Física, a Tractriz surge como modelo em problemas de resistência e tração. Ela descreve, por exemplo, o caminho seguido por um barco sendo rebocado por outro em linha reta (FORSYTH, 1890). Além disso, serve como base teórica para estudos de atrito e movimento com restrições. Isso a torna relevante para diversas engenharias, especialmente mecânica e naval.

A Tractriz também encontra lugar na Computação Gráfica e em Robótica. Algoritmos de rastreamento e simulação de movimentos com vínculos rígidos fazem uso de sua formulação (STROUD & BOOTH, 2011). Em robôs de reboque, por exemplo, ela é empregada para modelar o trajeto de um robô secundário seguindo outro. Sua presença nesses campos destaca sua versatilidade como ferramenta de modelagem matemática.

3. Enfoques Experimentais e Projetos Didáticos

A experimentação com a Tractriz pode começar com uma simples simulação física utilizando cordões e objetos deslizantes. Essa abordagem permite aos alunos observarem a curva emergente e explorarem hipóteses sobre seu comportamento. Experimentações como essas fomentam o raciocínio investigativo e o pensamento geométrico (PONTE, 2005). Assim, a curva serve como elo entre o concreto e o abstrato no processo de ensino-aprendizagem.

No contexto da modelagem matemática escolar, a Tractriz pode ser explorada com softwares como GeoGebra. A construção dinâmica da curva permite uma análise em tempo real de seus parâmetros (BORBA & VILLARREAL, 2005). Além disso, pode-se propor projetos interdisciplinares envolvendo Física, como o estudo do movimento de corpos ligados por cordas. Tais experiências proporcionam um aprendizado significativo e contextualizado.

A Tractriz também pode ser usada em projetos interativos com Arduino ou robôs educacionais. Um exemplo envolve programar um robô para seguir uma trajetória determinada por uma corda fixa a outro robô. Isso possibilita uma abordagem prática e contemporânea, aproximando a Matemática da Tecnologia (VALENTE, 1999). Projetos assim despertam o interesse e o engajamento dos alunos nas ciências exatas.

4. Relevância Educacional da Tractriz na Educação Básica

A Tractriz oferece oportunidades valiosas para a introdução de conceitos avançados de forma acessível. Ela permite que estudantes explorem noções de geometria diferencial, função e modelagem, mesmo antes do estudo formal do cálculo (D’AMBROSIO, 2001). Assim, ela pode ser utilizada como ponto de partida para investigações investigativas e contextualizadas. Sua inclusão no currículo enriquece o repertório de estratégias pedagógicas.

No Ensino Médio, a Tractriz pode servir como elo integrador entre diversas disciplinas. A Física e a Matemática encontram-se ao explorar sua aplicação em fenômenos reais. Além disso, os conceitos de limite, derivada e integral podem ser abordados de maneira intuitiva. Isso contribui para o desenvolvimento do pensamento lógico-matemático e da interdisciplinaridade.

Sua relevância também está em promover a História da Matemática em sala de aula. Apresentar aos alunos a trajetória de pensadores como Huygens e Bernoulli estimula o pensamento crítico e o reconhecimento da Matemática como construção humana (FURTADO, 2006). Ao entender como uma curva como a Tractriz foi descoberta e usada, os estudantes valorizam o papel da investigação histórica na ciência. Isso favorece uma visão mais ampla e humana do conhecimento.

5. Exemplos de Aplicações e Projetos com a Tractriz

  1. Simulação de Reboque com Carrinhos: Projeto em que alunos constroem carrinhos ligados por barbantes para observar e registrar a trajetória do segundo carrinho. A atividade permite que os estudantes comparem os dados experimentais com a curva teórica da Tractriz.
  2. Modelagem Matemática no GeoGebra: Construção da Tractriz com uso de ferramentas digitais para análise da equação diferencial envolvida. Os alunos podem variar parâmetros e observar como o comportamento da curva muda.
  3. Construção de uma Tractriz com Arduino: Uso de sensores e motores para simular o movimento de dois pontos ligados por uma corda, com geração digital da curva percorrida. O projeto desenvolve habilidades em robótica e programação.
  4. Estudo Interdisciplinar de Reboque de Navios: Pesquisa e simulação do uso da Tractriz em operações marítimas, com apoio de vídeos e softwares de navegação. O projeto envolve conhecimentos de Física, Geometria e História.
  5. Análise da Tractriz em Biomecânica: Pesquisa sobre o uso da Tractriz como modelo do movimento de tendões ou músculos em anatomia funcional. Estudantes de áreas técnicas podem integrar Biologia e Matemática nesse estudo.

Referências Bibliográficas (ABNT)

BORBA, Marcelo C.; VILLARREAL, Maria E. Experimentação e Modelagem em Matemática com uso das Tecnologias Digitais. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

BOYER, Carl B. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1991.

COURANT, Richard; ROBBINS, Herbert. What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods. New York: Oxford University Press, 1996.

D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: Da teoria à prática. Campinas: Papirus, 2001.

FORSYTH, Andrew R. A Treatise on Differential Equations. Cambridge: Cambridge University Press, 1890.

FURTADO, Elizabeth. A História da Matemática na Formação de Professores: possibilidades e limites. São Paulo: Livraria da Física, 2006.

GRAY, Jeremy. Plato’s Ghost: The Modernist Transformation of Mathematics. Princeton: Princeton University Press, 2008.

PONTE, João P. da. Investigar para aprender Matemática. In: GTI – Grupo de Trabalho de Investigação. Lisboa: APM, 2005.

PONTES, Acelino. Prolegômenos à Nova Matemática. Fortaleza: Scientia Publishers, 2023. 232 p.

STROUD, K. A.; BOOTH, Dexter J. Engineering Mathematics. 7. ed. London: Palgrave Macmillan, 2011.

THOMAS, George B.; FINNEY, Ross L. Cálculo, Volume 1. 11. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2005.

VALENTE, José Armando. O Computador na Sociedade do Conhecimento: repensando a educação. Campinas: UNICAMP/NIED, 1999.

Nota: Parte do texto foi produzida em sinergia com IA.

Gabriel Faria Vieira

Possui graduação em Matemática pela Universidade Federal do Triângulo Mineiro (2021) e mestrado em EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA pela Universidade Federal do Triângulo Mineiro (2024).

Atualmente é professor de educação básica da Escola Estadual Carmelita Carvalho Garcia.

Tem experiência na área de Matemática, com ênfase em Matemática, atuando principalmente nos seguintes temas: história da matemática, história do cálculo, tractriz, cálculo infinitesimal e matemática.

CV Lattes: http://lattes.cnpq.br/8316885136414563


Comentários

Muito obrigado pela excelente palestra (Abel do Rosário Sarmento)
Contribuiu muito em conhecimento. (Aguinaldo Antonio Rodrigues)
Excelente palestra (Carlos Magno de Moraes)
Parabéns pelo tema e pela excelente exposição. Parabéns! (Flávio Maximiano da Silva Rocha)
Parabéns, excelente palestra, estou aprendendo muito, obrigado por compartilhar o conhecimento. Parabéns! (Hailton David Lemos)
Maravilhosa palestra! Muito obrigada pela oportunidade de participar! (Irla Leite de Souza)
Excelente tema e apresentação (Ivanildo da Cunha Ximenes)
Muito interessante esse trabalho. Parabéns professor Gabriel (Jaqueline de Assis Carvalho)
Excepcional essa apresentação, utilizando o Geogebra. (Jefte Dodth Telles Monteiro)
Excelente palestra! (Lineu da Costa Araújo Neto)
Parabéns professor Gabriel pela palestra. (Lucia dos Santos Bezerra de Farias)
Excelente palestra (Luiz José da Silva)
Conteúdo de Matemática Pura (Marcos Lengrub da Silva)
Ótima palestra (Maria Thalita Abreu Pereira)
Excelente Palestra! Sem palavras, muitos elogios! Parabéns Prof. Gabriel! (Maxwell Gonçalves Araújo)
Gratidão! (Paulo Sérgio de Andrade Moraes)
Ótima palestra. Explicações bem claras. (Ricardo de Carvalho Oliveira)
Excelente palestra, muito obrigada, grande contribuição, sempre é bom ter formação continuada, nos engrandece muito. (Suelen Ferreira de Freitas)
Maravilhosa palestra (Wanderlania Sousa Alves)

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