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O estudo das Equações Diferenciais Parciais (EDPs) desempenham um papel importante em problemas que vão desde a matemática pura a problemas da química, física, engenharias e áreas afins. Por tal razão, entender suas Teorias de Regularidade é parte central na análise de problemas oriundos da dinâmica dos fluidos, das reações químicas que ocorrem na superfície do DNA, do eletromagnetismo, da difusão de calor, da dinâmica populacional, da propagação de vírus, dentre outros. Do ponto de vista matemático, a Teoria de Regularidade ajuda a estabelecer resultados de classificação e comportamento de soluções de tais EDPs. Nesta direção, nossa palestra tem como objetivo revisitar o estado da arte da Teoria de Regularidade para algumas classes de EDPs apresentando alguns resultados da análise matemática contemporânea.
Essas relevantes ferramentas matemáticas são equações que envolvem derivadas parciais de uma ou mais funções desconhecidas de várias variáveis independentes. Elas são usadas para modelar fenômenos físicos, biológicos, econômicos e outros que envolvem mudanças contínuas e relações entre as variáveis.
Origens e evolução das EDPs
As origens das EDPs remontam ao século XVIII, quando os matemáticos começaram a estudar problemas relacionados à mecânica, à óptica, à acústica, ao calor e à eletricidade. Um dos primeiros exemplos de uma EDP é a equação de onda, que descreve a propagação de ondas sonoras ou luminosas em um meio. Essa equação foi obtida por Jean le Rond d’Alembert em 1746, a partir da equação de movimento de uma corda vibrante. Outro exemplo é a equação do calor, que descreve a variação da temperatura em um corpo sólido ou em um fluido. Essa equação foi deduzida por Joseph Fourier em 1807, a partir da lei da conservação da energia e da lei de Fourier da condução térmica.
No século XIX, as EDPs se tornaram um ramo importante da matemática, com o surgimento de novas equações e métodos de solução. Um dos matemáticos mais influentes nesse período foi Carl Friedrich Gauss, que introduziu o conceito de função potencial e a equação de Laplace, que é uma EDP linear de segunda ordem que descreve o comportamento de campos escalares estacionários, como o campo gravitacional ou o campo elétrico. Outro matemático destacado foi Bernhard Riemann, que generalizou a equação de Laplace para espaços curvos e estudou as propriedades das soluções das EDPs hiperbólicas, como a equação de onda.
No século XX, as EDPs ganharam ainda mais relevância com o desenvolvimento da física moderna, da teoria da relatividade e da mecânica quântica. Um dos exemplos mais notáveis é a equação de Schrödinger, que é uma EDP que descreve a evolução temporal da função de onda de uma partícula quântica. Essa equação foi proposta por Erwin Schrödinger em 1926, como uma generalização da equação de onda de Louis de Broglie. Outro exemplo é a equação de Einstein, que é uma EDP não-linear que relaciona a geometria do espaço-tempo com a distribuição de matéria e energia. Essa equação foi formulada por Albert Einstein em 1915, como o núcleo da teoria da relatividade geral.
Classificação e solução das EDPs
As EDPs podem ser classificadas de acordo com vários critérios, como a ordem, a linearidade, a homogeneidade e o tipo. A ordem de uma EDP é o grau da maior derivada parcial que aparece na equação.
A linearidade de uma EDP indica se ela pode ser escrita como uma combinação linear das funções desconhecidas e suas derivadas parciais. A homogeneidade de uma EDP indica se ela contém termos independentes das variáveis e das funções desconhecidas. O tipo de uma EDP é determinado pelo sinal do discriminante da forma quadrática associada à equação.
O tipo de uma EDP está relacionado com o comportamento das suas soluções e com os métodos de solução mais adequados. Por exemplo, as EDPs hiperbólicas geralmente descrevem fenômenos ondulatórios e podem ser resolvidas pelo método das características. As EDPs parabólicas geralmente descrevem fenômenos difusivos e podem ser resolvidas pelo método da separação de variáveis. As EDPs elípticas geralmente descrevem fenômenos estacionários e podem ser resolvidas pelo método das funções harmônicas.
A solução de uma EDP é uma função que satisfaz a equação e as condições de contorno ou iniciais impostas. Nem toda EDP possui solução, e nem toda solução é única ou contínua. Além disso, nem toda solução pode ser encontrada de forma analítica, ou seja, por meio de fórmulas explícitas envolvendo funções elementares ou especiais. Muitas vezes, é necessário recorrer a métodos numéricos, que aproximam a solução por meio de algoritmos computacionais que discretizam o domínio e a equação. Alguns dos métodos numéricos mais usados para resolver EDPs são o método das diferenças finitas, o método dos elementos finitos e o método dos volumes finitos.
Aplicações das EDPs
As EDPs têm inúmeras aplicações em diversas áreas do conhecimento, pois permitem modelar situações que envolvem mudanças contínuas e relações entre as variáveis. A seguir, apresentamos três exemplos práticos de aplicação das EDPs.
Equação de Poisson A equação de Poisson é uma EDP elíptica que generaliza a equação de Laplace, incluindo um termo não-homogêneo que representa uma fonte ou um sorvedouro de potencial.
Essa equação é usada para modelar diversos fenômenos físicos, como o campo elétrico gerado por uma distribuição de cargas, o campo gravitacional gerado por uma distribuição de massas, o fluxo de fluidos em meios porosos e a deformação de membranas elásticas. Um exemplo de aplicação da equação de Poisson é o problema da placa retangular com carga uniforme.
Teoria de Regularidade
A teoria de regularidade para equações diferenciais parciais (EDPs) é um ramo da matemática que estuda as propriedades das soluções de EDPs em termos de sua suavidade, singularidade, continuidade e diferenciabilidade. Essa teoria é fundamental para entender o comportamento qualitativo das soluções, bem como para desenvolver métodos de solução analíticos e numéricos.
Origens e motivações da teoria de regularidade
As origens da teoria de regularidade remontam ao século XVIII, quando os matemáticos começaram a estudar problemas relacionados à mecânica, à óptica, à acústica, ao calor e à eletricidade. Esses problemas levaram à formulação de EDPs que descreviam os fenômenos físicos em questão. No entanto, nem sempre era fácil encontrar soluções explícitas para essas equações, e muitas vezes era necessário recorrer a métodos aproximados ou variacionais. Surge então a necessidade de investigar se essas soluções aproximadas ou variacionais eram de fato soluções das equações originais, e se elas possuíam propriedades desejáveis, como a existência, a unicidade, a estabilidade e a regularidade.
Um dos primeiros exemplos de um problema que motivou o estudo da regularidade foi o problema da corda vibrante. Esse problema consiste em determinar o deslocamento vertical
u(x,t)
de uma corda elástica fixada nas extremidades
x=0
e
x=L
sujeita a uma força externa
f(x,t).
A equação que governa esse problema é a equação de onda:
utt − c2uxx = f(x,t),
onde
c
é uma constante que depende da densidade e da tensão da corda.
Além disso, temos as condições iniciais:
u(x,0) = g(x)
e
ut(x,0) = n(x)
que especificam o deslocamento e a velocidade inicial da corda; e as condições de contorno:
u(0,t) = u(L,t) = 0
que impõem que a corda permaneça fixa nas extremidades.
Esse problema foi resolvido por Jean le Rond d’Alembert em 1746, usando o método das características. Esse método consiste em transformar a EDP em uma equação diferencial ordinária (EDO) ao longo de curvas chamadas características, nas quais a derivada total da função desconhecida é constante. D’Alembert mostrou que as características da equação de onda eram as retas
x ± ct = k
onde k é uma constante arbitrária.
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Nota: Parte do texto foi produzida em sinergia com IA.
Ginaldo de Santana Sá
Possui graduação em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Sergipe (2016), mestrado em matemática pela Universidade Federal de Sergipe (2018) e doutorado em matemática pela Universidade Federal da Paraíba (2023).
Atualmente, ocupa posição de pós-doutorado na University of Central Florida – EUA, com suportefinanceiro do CNPq, sob a supervisão do Professor Eduardo Teixeira.
Tem interesse na Área de Análise com ênfase em Equações Diferenciais Parciais Elípticas, mais especificamente em Teoria de Regularidade de equações diferenciais parciais envolvendo problemas de fronteira livre