Campo Conceitual de Função

Do pensamento funcional ao Campo Conceitual de Função: o desenvolvimento de um conceito

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O conceito de função é essencial na Matemática, pois ela é parte constituinte de um grande número de operações matemáticas. Por esta razão constitui parte integrante dos currículos de Matemática de praticamente todos os países do mundo. Entretanto, pesquisas têm mostrado que os estudantes não têm se apropriado adequadamente deste conceito. Vários são os motivos apontados, tais como: abordagem de ensino pautada em representações abstratas e uma falta de clareza sobre quais são os conceitos anteriores que os estudantes precisam saber para conceitualizar função.

O aspecto prático deixado de lado, aliado à falta de uma estruturação das situações necessárias para o ensino de função, têm levado o Grupo de Estudos e Pesquisa em Didática da Matemática (GePeDiMa) a estabelecer o possível Campo Conceitual de Funções e Função Afim.

Nesse cenário, objetivou-se verificar a existência do Campo Conceitual de Função Afim e, consequentemente de Funções; para além dos Campos das Estruturas Aditivas e Multiplicativas, já estabelecidos por Vergnaud. Para comprovar esta existência, foram mapeados os conceitos organizadores, as ideias-base, as representações e situações que compõem este Campo Conceitual.

Para tal, relata-se sobre uma investigação bibliográfica, orientada pela Teoria dos Campos Conceituais a respeito de funções, considerando as três perspectivas: histórica, cognitiva e didática. A investigação foi qualitativa, com encaminhamentos metodológicos assegurados nos pressupostos de uma pesquisa do tipo Estado da Arte e análises baseadas na Teoria dos Campos Conceituais.

Da perspectiva histórica, foram identificados nove estágios na evolução de pensamento funcional até o conceito de função. A perspectiva cognitiva forneceu suporte para identificar que as estruturas cognitivas necessárias para que o sujeito possa conceber o conceito de função iniciam com noções de relações entre grandezas e se firmam nas regularidades formalizadas.

Da perspectiva didática, detectou-se o enfoque algebrista no ensino de função e as dificuldades encontradas pelos alunos no que se refere às diferentes representações. A partir desses resultados e associados ao quarteto (situação, conceito organizador, ideia-base, representação) foi confirmada a existência do Campo Conceitual de Funções, bem como identificou-se suas ideias-base, a saber: dependência, generalização, regularidade e variável.

Função Matemática através do Tempo e do Espaço

O conceito de função matemática, um dos pilares da matemática moderna, percorreu um longo caminho desde suas origens até se tornar a ferramenta poderosa que conhecemos hoje. Sua trajetória é marcada por avanços conceituais, debates acalorados e aplicações inovadoras em diversos campos do conhecimento. Explorar o Campo Conceitual da Função Matemática significa mergulhar em um rico universo de ideias, perspectivas e descobertas que moldaram nossa compreensão do mundo.

Da Geometria à Abstração

As primeiras ideias sobre funções emergiram da geometria antiga, com estudos sobre relações entre ângulos e cordas em círculos. No século XVII, René Descartes e Gottfried Wilhelm Leibniz formalizaram o conceito de função como uma relação entre duas variáveis, abrindo caminho para a análise matemática moderna. Isaac Newton e Pierre de Fermat aplicaram funções para descrever fenômenos físicos, consolidando sua importância na ciência.

A consolidação do campo conceitual de função matemática ganhou impulso no século XIX com o desenvolvimento da análise matemática, especialmente através do trabalho de Bernard Bolzano, Augustin-Louis Cauchy, Karl Weierstrass e outros. Com o advento do cálculo diferencial e integral, as funções tornaram-se objetos centrais de estudo, permitindo uma compreensão mais profunda de fenômenos naturais e abstratos.

No século XX, com o surgimento da teoria dos conjuntos e da matemática moderna, o estudo das funções foi ampliado e refinado, levando ao surgimento de novos ramos como a análise funcional e a teoria da medida.

A partir do final do século XX, com o avanço da computação e da tecnologia, o campo conceitual de função matemática passou a desempenhar um papel fundamental em diversas áreas aplicadas, como engenharia, física, economia e ciência da computação. Essa interdisciplinaridade destacou a importância da compreensão profunda das funções não apenas como entidades abstratas, mas como ferramentas poderosas para modelagem e resolução de problemas do mundo real.

• “Seja x qualquer quantidade, e y uma função dela, então a diferença entre y e a função de x mais a diferença de x é a diferença das funções de x.” – Isaac Newton (1670)
• “Uma função é uma expressão que atribui a cada número em um determinado conjunto, chamado domínio, um único número em outro conjunto, chamado contradomínio.” – Gottfried Wilhelm Leibniz (1675)

Diversidade de Abordagens

O estudo das funções matemáticas se caracteriza pela multiplicidade de perspectivas. A visão algébrica foca na manipulação de expressões simbólicas para determinar propriedades e relações entre funções. Já a análise matemática explora os aspectos quantitativos das funções, como limites, derivadas e integrais. A geometria analítica utiliza funções para representar curvas e superfícies no plano cartesiano. A topologia, por sua vez, estuda as propriedades das funções que permanecem inalteradas sob deformações contínuas.

As perspectivas científicas sobre o campo conceitual de função matemática têm evoluído ao longo do tempo, refletindo tanto os avanços teóricos quanto as demandas práticas das diferentes áreas de aplicação. Do ponto de vista teórico, a função é frequentemente definida como uma correspondência entre dois conjuntos, onde cada elemento do primeiro conjunto está associado a um único elemento do segundo conjunto. Essa definição abstrata permite uma ampla generalização do conceito, possibilitando sua aplicação em contextos diversos.

No contexto da matemática pura, a análise funcional tornou-se um campo de estudo central, investigando propriedades das funções e de seus espaços, como continuidade, diferenciabilidade, integrabilidade e convergência. Paralelamente, a teoria das funções reais e complexas desenvolveu ferramentas poderosas para o estudo de funções de uma e várias variáveis, permitindo a formulação e resolução de problemas em diversos domínios matemáticos.

Nas ciências aplicadas, as perspectivas sobre funções matemáticas são moldadas pelas necessidades de modelagem e análise de fenômenos naturais e artificiais. Nesse contexto, a ênfase muitas vezes recai na construção de modelos matemáticos precisos e eficientes, capazes de descrever com acurácia o comportamento de sistemas complexos. Isso envolve não apenas a compreensão das propriedades matemáticas das funções, mas também sua interpretação física, econômica, ou de qualquer outra natureza aplicada.

• “A análise matemática é a ciência das funções.” – Henri Poincaré (1908)
• “A geometria analítica é a aplicação da álgebra à geometria.” – René Descartes (1637)
• “A topologia é a borracha da matemática.” – Johann Faulhaber (1616)

Explorando Funções na Prática

A experimentação desempenha um papel crucial na construção do conhecimento sobre funções matemáticas. Através de atividades práticas, como gráficos, tabelas e simulações computacionais, os alunos podem visualizar e manipular funções, desenvolvendo uma compreensão intuitiva e profunda de seus conceitos. A experimentação também permite a exploração de aplicações de funções em diferentes áreas do conhecimento, como física, química, engenharia e economia.

• “A experimentação é a chave para o aprendizado de matemática.” – John Dewey (1902)
• “As funções matemáticas são ferramentas poderosas para modelar o mundo real.” – William H. Beyer (1997)
• “A tecnologia pode ser utilizada para tornar o aprendizado de funções matemáticas mais dinâmico e interativo.” – Reuben Hersh (1997)

Um Universo de Possibilidades

As funções matemáticas possuem um vasto leque de aplicações em diversos campos do conhecimento. Na física, elas são utilizadas para modelar o movimento de objetos, a força da gravidade e a propagação de ondas. Na química, são empregadas para descrever reações químicas, propriedades de compostos e processos de equilíbrio. Na engenharia, servem para projetar estruturas, analisar circuitos elétricos e otimizar sistemas. Na economia, são utilizadas para modelar o comportamento do mercado, prever tendências e tomar decisões financeiras. Até mesmo na biologia, as funções matemáticas podem ser empregadas para estudar o crescimento de populações, a propagação de doenças e o funcionamento do corpo humano.

As aplicações e utilidades do campo conceitual de função matemática são vastas e abrangem uma ampla gama de domínios, desde as ciências naturais até as ciências sociais e a engenharia. Um exemplo clássico é a modelagem matemática de fenômenos físicos, como o movimento de corpos celestes, o crescimento de populações e a propagação de ondas. Nestes casos, as funções são usadas para descrever e prever o comportamento dos sistemas em estudo.

Na engenharia, as funções desempenham um papel fundamental no projeto e análise de sistemas complexos, como circuitos elétricos, estruturas mecânicas e redes de comunicação. Modelos matemáticos baseados em funções são empregados para otimizar o desempenho e a eficiência desses sistemas, garantindo sua operação segura e confiável.

Em economia e finanças, as funções são amplamente utilizadas para modelar o comportamento de mercados, precificar ativos financeiros e analisar o impacto de políticas econômicas. Modelos econométricos baseados em funções de demanda, oferta e equilíbrio são essenciais para entender as dinâmicas complexas dos sistemas econômicos modernos.

Na biologia e medicina, as funções são empregadas para modelar processos biológicos e fisiológicos, como o crescimento de populações, a difusão de substâncias químicas no corpo humano e a dinâmica de doenças infecciosas. Esses modelos permitem aos pesquisadores compreender melhor os mecanismos subjacentes a esses fenômenos e desenvolver estratégias de prevenção e tratamento mais eficazes.

Na meteorologia, as funções são usadas para modelar o comportamento do clima e prever condições meteorológicas futuras. Modelos matemáticos baseados em funções de temperatura, pressão, umidade e vento são essenciais para a previsão de eventos climáticos extremos, como tempestades, furacões e secas.

Exemplos

1. Movimento de Projéteis: A trajetória de um projétil lançado no ar pode ser descrita por uma função quadrática, que relaciona a altura do projétil com o tempo de voo. Essa função permite prever a altura máxima que o projétil atingirá e o momento em que ele retornará ao solo.
2. Crescimento Populacional: O crescimento de uma população ao longo do tempo pode ser modelado por uma função exponencial. Essa função permite estimar o tamanho da população em um determinado momento futuro e identificar tendências de crescimento ou declínio.
3. Circuitos Elétricos: A corrente elétrica em um circuito pode ser descrita por uma função sinusoidal. Essa função permite analisar o comportamento do circuito, calcular a potência consumida e projetar circuitos mais eficientes.
4. Otimização de Sistemas: Funções matemáticas podem ser utilizadas para encontrar a solução ideal para um problema, como o caminho mais curto entre dois pontos ou a quantidade mínima de material necessária para construir uma estrutura.
5. Análise de Dados: Funções matemáticas são ferramentas essenciais para analisar grandes conjuntos de dados, identificar padrões e tirar conclusões relevantes. Essa análise pode ser aplicada em diversos campos, como marketing, medicina e finanças.

Conclusão

O Campo Conceitual da Função Matemática é um universo rico e fascinante, repleto de ideias, perspectivas e aplicações que moldam nossa compreensão do mundo. A jornada através de sua história, perspectivas científicas, enfoques experimentais e aplicações revela a importância das funções matemáticas como ferramentas essenciais para o conhecimento e a inovação em diversos campos do saber.

Referências Bibliográficas

• Beyer, W. H. (1997). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. CRC Press.
• Bolzano, B. (1817). “Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege.” \textit{Casopis Pro Pěstování Matematiky a Fysiky}, 1(1), 1-13.
• Cauchy, A. L. (1821). “Cours d’Analyse de L’Ecole Royale Polytechnique. I. Analyse algébrique.” Paris: Imprimérie Royale.
• Descartes, René: La Géométrie (1637)
• Dewey, J. (1902). The School and Society. University of Chicago Press.
• Euler, L. (1748). “Introductio in analysin infinitorum.” Lausanne et Genevae: Marcum-Michael Bousquet et Socios.
• Faulhaber, Johann: Introductio in artem analyticam infinitorum (1616)
• Gauss, C. F. (1809). “Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum.” Hamburg: Perthes et Besser.
• Hersh, Reuben: Experiencing Mathematics: Teaching and Learning Mathematics with Technology (1997). Lawrence Erlbaum Associates.
• Leibniz, G. W. (1675). De lineabus tangentibus seu de quadraturis et rectificationibus curvarum. Sumptibus Johannis Andreae Crooks.
• Leibniz, G. W. (1684). “Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illi calculi genus.” Acta Eruditorum, 6, 467-473.
• Newton, I. (1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum. Typis Josephi Streater.
• Newton, I. (1687). “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.” Londini: Jussu Societatis Regiae ac Typis Josephi Streater.
• Poincaré, H. (1908). Les fondements de la géométrie. Gauthier-Villars.
• Weierstrass, K. (1872). “Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen.” Göttingen: Dieterichsche Universitäts-Buchdruckerei.

Nota: Parte do texto foi produzida em sinergia com IA.

Renato Francisco Merli

Professor Adjunto na Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Toledo.

Doutor em Educação em Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual do Oeste do Paraná, câmpus Cascavel (2022).

Realizou período sanduíche na Rutgers University – Newark, New Jersey, Estados Unidos (Agosto/2019 – Agosto/2020); Mestre em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (2012) e Mestre em Filosofia pela Universidade Estadual do Oeste do Paraná, câmpus Toledo (2016); especialista em Educação à Distância pela Faculdade de Apucarana (2011) e licenciado em Matemática com Ênfase em Informática pela Faculdade de Apucarana (2010).

Atua no curso de Licenciatura em Matemática e no Programa de Mestrado Profissional de Matemática (PROFMAT), atuou no Programa Especial de Formação Pedagógica (PROFOP).

Pesquisa principalmente nos seguintes temas: Didática Francesa, Matemática Fuzzy, Modelagem Matemática, Tecnologias no Ensino de Matemática, Filosofia e História da Matemática e Formação de Professores.

Participa dos Grupos “Estudos e Pesquisas em Didática da Matemática – GEPeDiMa” e “Educação e Educação Matemática – GEPEEM”.

Foi coordenador do PIBID de Matemática da UTFPR – câmpus Toledo de 2013 a 2016 e coordenador de Tecnologias da Educação (COTED) de 2016 a 2018.

Foi coordenador do projeto Clube da Matemática e membro do Comitê de Ética em Pesquisa da UTFPR (2017 a 2018).

Foi coordenador voluntário do PIBID de Matemática daUTFPR – câmpus Toledo (2018 a 2019), Professor Responsável das Atividades de Estágio (PRAE) (2018 a 2019) e professor responsável pelas Atividades de Internacionalização (PRAINT) (2020 a 2023) do Curso de Licenciatura em Matemática.

Atuou no Programa Nacional do Livro e do Material Didático como Avaliador (PNLD 2023).

Atualmente é membro do Núcleo Docente Estruturante (NDE), membro do Colegiado, membro do Comitê de Ética Envolvendo Pesquisas com Seres Humanos e coordenador do Programa Residência Pedagógica (PRP) do Curso de Licenciatura em Matemática – Toledo.

Lattes: https://lattes.cnpq.br/4313837720967509

Comentários

OS TEMAS SÃO EXCELENTES (Addelia Elizabeth Neyrão De Mello)

Da insuficiência aos conceitos primitivos. Esse encontro proporcionou melhoria na definição de conceitos e definições de funções. (Aguinaldo Antonio Rodrigues)

ótima palestra (Arley Zamir Chaparro Cardozo)

Excelente apresentação! (Bruno Ferreira Pinheiro)

Parabéns pela palestra, excelente (Cláudio Firmino Arcanjo)

Parabéns pela apresentação e evento. Gostei muito do tema abordado e a interação e exemplos apresentados. (Claudio Roberto Barrozo da Silva)

Muito boa essa ideia! (Darcimarcos Valerio Leite)

Gostei da palestra da parte histórica situando a evolução das funções através do tempo e seus autores, ” atores”, que possibilitaram a forma como esse conhecimento chegou até nós nos dias atuais. (Débora Pinto dos Santos)

Belíssima palestra! (Erick Lucas Correia Cordeiro)

Muito interessante o tema. Parabéns pela excelente apresentação. (Flávio Maximiano da Silva Rocha)

BOA PALESTRA (Gilvana Bezerra De Sousa)

Parabéns pela palestra, obrigado por compartilhar conhecimento, parabéns! (Hailton David Lemos)

Ótima aula. (Irineu Giacobbo)

Excelente palestra (Ivanildo da Cunha Ximenes)

Muito obrigada pela palestra excepcional (Jaíne de Jesus da Silva)

Um tema muito importante para o estudo de Funções. Parabéns professor Renato! (Jaqueline de Assis Carvalho)

otima aula (João Marcos Soares Borborema)

A ACM está de parabéns pela organização do evento. Gostaria de saber se há algum pesquisador da academia que se debruça sobre o Campo Conceitual das Funções? Caso positivo, com poderia contactá-los para me auxiliar nas pesquisas? (Joelson Magno Dias)

Excelente apresentação, vários direcionamentos para minha pesquisa de Doutorado. (Jorge Luiz Cremontti Filho)

Excelente palestra (José Ferreira da Silva Júnior)

Excelente aula e explicações, obrigado por compartilhar o conhecimento, parabéns professor. (Joseano de Alencar Carvalho)

Ótima palestra (Josefa Elizângela dos Santos)

Excelente palestra (Lineu da Costa Araújo Neto)

Excelente palestra!! (Lucas Michael Pereira da Silva)

Parabéns professor pela palestra a cerca das funções e seus conceitos dentro das perspectivas do conhecimento. (Lucia dos Santos Bezerra de Farias)

Muito boa palestra (Luiz José da Silva)

Maravilhosa palestra (Marcelle Nogueira Da Silva)

Muito Intersante (Marciano da Silva Soares)

Ótima aula. (Matheus Ribeiro Soares)

Excelente palestra! (Maxwell Gonçalves Araújo)

Apresentação enriquecedora. O prof. Renato Merli está de parabéns! (Paulo Sérgio de Andrade Moraes)

Gratidão! (Sandro Alves de Azevedo)

Excelente! Tema amplo e muito bem articulado. A apresentação demonstra o domínio do objeto de estudo. (Vanessa Largo Andrade)

Adoro a Teoria dos Campos Conceituais, muito abrigado pela aula. (Vitor Vasconcelos Silva)

Excelente Apresentação!!! (Wiclef Alves Almada da Silva)

Conferencia interesante para tener en cuenta elementos en un marco de referencia. (Yancel Orlando Soto Hernández)