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Durante a palestra, serão abordados os seguintes tópicos:
Introdução ao Mathematica: Uma breve visão geral do software Mathematica, suas capacidades e como utilizá-lo para cálculos matemáticos.
Fundamentos de Limites: Uma revisão dos conceitos básicos de limites de funções, incluindo limites laterais, limites infinitos e limites no infinito.
Cálculos de Limites: Como o Mathematica pode ser usado para calcular limites, permitindo manipulações algébricas e simplificações para obter resultados precisos.
Visualização Gráfica de Limites: Demonstrações de como o Mathematica pode gerar visualizações gráficas de limites, facilitando a compreensão visual e a análise de comportamentos de função.
Cálculos de Limites: navegando pela História
Introdução
O conceito de limite é fundamental para o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral, que são ramos da matemática que lidam com funções, derivadas, integrais, séries e equações diferenciais. O cálculo de limites permite estudar o comportamento de uma função quando a variável independente se aproxima de um determinado valor, ou quando tende ao infinito. Neste texto, vamos apresentar uma breve história do cálculo de limites, destacando os aspectos históricos, os principais autores, os títulos de livros e as personalidades participantes das evoluções e do envolvimento com o tema.
Origens
O cálculo de limites tem suas origens na antiguidade, quando os matemáticos gregos se interessaram pelos problemas de divisão de uma grandeza em partes infinitamente pequenas, ou de aproximação de uma grandeza por outra. Um exemplo clássico é o método de exaustão, usado por Arquimedes para calcular áreas e volumes de figuras geométricas, aproximando-as por polígonos inscritos e circunscritos. Outro exemplo é o método dos indivisíveis, proposto por Cavalieri no século XVII, que consistia em considerar que uma figura plana era composta por infinitas linhas paralelas, e um sólido por infinitas figuras planas paralelas. Esses métodos, apesar de intuitivos e eficazes, não tinham uma fundamentação rigorosa, e eram baseados em noções vagas de infinito e infinitesimal.
Desenvolvimento
O cálculo de limites teve um grande desenvolvimento no século XVII, com o surgimento do cálculo diferencial e integral, criado independentemente por Newton e Leibniz. Ambos usaram a ideia de limite para definir a derivada de uma função como a razão entre a variação da função e a variação da variável independente, quando essa variação tende a zero. Da mesma forma, definiram a integral de uma função como o limite da soma de infinitos retângulos que aproximam a área sob a curva da função. Essas definições permitiram resolver problemas físicos e geométricos de forma mais geral e eficiente, como o cálculo da velocidade, da aceleração, do trabalho, do centro de massa, da área, do volume, etc. No entanto, as definições de Newton e Leibniz ainda eram baseadas em noções intuitivas e imprecisas de infinito e infinitesimal, e não eram aceitas por todos os matemáticos da época.
Formalização
O cálculo de limites foi formalizado no século XIX, com o trabalho de vários matemáticos que buscaram dar uma base lógica e rigorosa para o cálculo diferencial e integral. Um dos principais nomes foi Cauchy, que introduziu a definição moderna de limite de uma função como um número real L tal que para todo número positivo ε existe um número positivo δ tal que se a variável independente x estiver a uma distância menor que δ do valor a (mas diferente dele), então a função f(x) estará a uma distância menor que ε do valor L. Essa definição elimina as noções problemáticas de infinito e infinitesimal, e usa apenas números reais e desigualdades. Cauchy também usou essa definição para dar as definições rigorosas de continuidade, derivada e integral de uma função. Outros matemáticos que contribuíram para a formalização do cálculo de limites foram Bolzano, Weierstrass, Riemann, Dedekind e Cantor.
Aplicações
O cálculo de limites tem inúmeras aplicações em diversas áreas da matemática e da ciência. Além do cálculo diferencial e integral, o conceito de limite é usado para definir outros conceitos importantes como funções contínuas, funções analíticas, séries numéricas e de potências, séries de Fourier, séries de Taylor, funções transcendentes, números complexos, números reais (pelo método das sequências de Cauchy ou dos cortes de Dedekind), números irracionais (pelo método das frações contínuas), números transcendentais (pelo método de Liouville), números e (pelo limite da sequência (1+1/n)^n) e π (pelo limite da série 4(1-1/3+1/5-1/7+…)), etc. O cálculo de limites também é usado para modelar e resolver problemas de física, química, biologia, economia, engenharia, etc.
Conclusão
O cálculo de limites é um dos conceitos mais importantes e fascinantes da matemática, que tem uma longa história de evolução e aperfeiçoamento, e que tem uma grande relevância teórica e prática. Neste texto, apresentamos uma breve história do cálculo de limites, destacando os aspectos históricos, os principais autores, os títulos de livros e as personalidades participantes das evoluções e do envolvimento com o tema. Esperamos que este texto tenha despertado o interesse e a curiosidade do leitor pelo assunto, e que o incentive a buscar mais informações e conhecimentos sobre o cálculo de limites.
Referências Bibliográficas
[1] Arquimedes. O método dos teoremas mecânicos. Tradução de J. L. Heiberg. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2010.
[2] Cavalieri, B. Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota. Bolonha: Typis Clementis Ferronii, 1635.
[3] Newton, I. Philosophiae naturalis principia mathematica. Londres: Jussu Societatis Regiae ac Typis Josephi Streater, 1687.
[4] Leibniz, G. W. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus. Acta Eruditorum, p. 467-473, 1684.
[5] Cauchy, A. L. Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique. Paris: Imprimerie Royale, 1821.
[6] Bolzano, B. Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen die ein entgegengesetztes Resultat gewähren ein dritter liegt der keinen Werth hat. Prag: Bernard Bolzano-Gesamtausgabe IIA/12, 1817.
[7] Weierstrass, K. Zur Theorie der Potenzreihen. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle’s Journal), p. 92-96, 1856.
[8] Riemann, B. Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, p. 1-79, 1868.
[9] Dedekind, R. Stetigkeit und irrationale Zahlen. Braunschweig: Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH., 1872.
[10] Cantor, G. Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle’s Journal), p. 441-444, 1874.
Nota: Parte do texto foi produzida em sinergia com IA.
Cláudio Firmino Arcanjo
Doutorando em Ciências da Educação pela Universidade Tecnológica Intercontinental – UTIC, Asunción – Paraguay.
Mestrado em Ciências da Educação pela Universidad Columbia del Paraguay, UCP, Asunción – Paraguay.
Pós-Graduação em Docência e Tutoria em Ensino a Distância pela Universidade Tiradentes – UNIT, Aracaju – SE (2011).
Pós-Graduação em Instrumentação para o Ensino de Matemática pela Universidade Federal Fluminense – UFF, Rio de Janeiro- RJ (2007)
Graduação em Licenciatura em Matemática pela Universidade Católica de Salvador – UCSAL, Salvador – BA (1994).
Comentários
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